Задача 23

Задача 23. Рассчитать верхнее и нижнее критическое поле для сверхпроводников второго рода.

Решение. В задаче 24 вычислялось поверхностное натяжение на границе сверхпроводящей и нормальной фазы в металлах. Было найдено, что оно может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от знака и величины параметра Гинзбурга-Ландау . В первом случае говорят о сверхпроводниках первого рода, во втором – о сверхпроводниках второго рода. Переход поверхностного натяжения через нуль происходит, как было показано в задаче 24, при значении В первом случае при увеличении магнитного поля происходит фазовый переход первого рода, когда поле достигает критического значения, найденного в задаче 24 (формула (1)).

Во втором случае при достижении критического поля термодинамически выгодно образование участков нормальной фазы, в которых отрицательная энергия поверхности компенсируется положительной энергией зародыша нормальной фазы. Нижнюю границу магнитного поля, когда это становится возможным, называют нижним критическим полем . При дальнейшем увеличении поля достигается так называемое верхнее критическое поле , за которым сверхпроводимость полностью разрушается и металл становится нормальным. В промежутке между этими двумя состояниями сверхпроводник находится в смешанном состоянии. Его свойства меняются от чистого сверхпроводника при до нормального металла при . Оба критических поля обращаются в нуль при достижении критической температуры.

Определим сначала верхнее критическое поле . Амплитуда парных корреляций  в этом случае мала. Поэтому можно пренебречь нелинейным членом в уравнении Гинзбурга-Ландау (см. формулу (3) в задаче 24)

Записывая векторный потенциал в постоянном магнитном поле как , приходим к уравнению

С математической точки зрения оно идентично стационарному уравнению Шредингера в потенциале одномерного гармонического осциллятора (хотя движение электрона здесь является трехмерным). При таком сравнении имеем

Минимальное значение энергии осциллятора, как известно из квантовой механики, равно

Итак, верхнее критическое поле равно

(1)

Зародыши сверхпроводящей фазы, описываемые приведенным выше уравнением Гинзбурга-Ландау, могут существовать, только если поле Н меньше : от этого значения начинается непрерывный спектр энергий вдоль направления Z, так как движение вдоль магнитного поля не квантуется.

Согласно формуле (7) из задачи 24 параметр Гинзбурга-Ландау имеет вид

.

Согласно формуле (1) задачи 24 критическая напряженность поля равна

.

Следовательно, . Сравнивая это соотношение с (1), находим величину верхнего критического поля

(2)

Теперь обратимся к расчету нижнего критического поля . Если поле несколько больше этого значения, то в основной сверхпроводящей фазе появляются зародыши нормальной фазы. Эти зародыши должны иметь по возможности максимальную поверхность – тогда отрицательная поверхностная энергия будет максимальна, т.е. свободная энергия будет минимальна. Естественна структура, при которой эти зародыши представляют собой тонкие нити, параллельные направлению магнитного поля. Эти нити охватывают кольцевые токи. Токам соответствуют согласно закону Фарадея магнитные потоки вдоль нитей. При приближении к токи и соответственно магнитные потоки уменьшаются. Однако бесконечно малым магнитный поток быть не может ввиду его квантования.

Вычислим элементарный квант потока магнитного поля. Согласно теореме Стокса поток магнитного поля можно выразить через циркуляцию векторного потенциала

(3)

В рамках модели Гинзбурга-Ландау вычислим плотность тока. Согласно решению задачи 24 (см. формулу (3) для одномерного случая) запишем свободную энергию в виде

Здесь - свободная энергия нормального состояния. Как и в задаче 24, для сокращения обозначений используем здесь систему единиц . Амплитуда спаривания электронов  является в общем случае комплексной величиной. При минимизации свободной энергии ее вариация по магнитному полю содержит следующие слагаемые. Первое связано с плотностью энергии магнитного поля

.

Здесь было произведено интегрирование по частям. Вариация второго слагаемого в свободной энергии имеет вид

Приравнивая нулю сумму всех слагаемых, получим

.

Это уравнение можно переписать в форме уравнения Максвелла, введя ток

. (4)

Этот ток создается намагниченностью М (магнитный момент единицы объема). Записывая напряженность магнитного поля как получим уравнение

В сверхпроводящей области магнитная индукция В равна нулю. Следовательно, и ток j равен нулю. Однако векторный потенциал A отличен от нуля. Записывая , и приравнивая ток нулю, перепишем (4) в виде

.

Подставляя это соотношение в (3), находим

.

Здесь - изменение фазы амплитуды спаривания при обходе по кольцу вокруг нити. Из требования однозначности амплитуды следует, что это изменение фазы кратно 2. Таким образом, магнитный поток  квантуется:

Здесь мы восстановили обычные единицы, исходя из соображений размерности для магнитного потока. Элементарный квант магнитного потока равен

Термодинамически выгодны нити с наименьшим магнитным потоком, т.е. с n = 1. Именно конечность ставит предел дальнейшему дроблению зародышей нормальной фазы. При увеличении магнитного поля до значения в металле появляется одна нить. Обозначим ее положительную энергию единицы длины через . Далее эта величина будет вычислена. Так как , то напряженность магнитного поля Н, направленная вдоль нити, постоянна вдоль нити и снаружи ее – она совпадает с напряженностью внешнего магнитного поля, приложенного к металлу. Тогда свободная энергия единицы длины нити, связанная с магнитным полем, может быть записана в виде (см. формулу (3))

Возникновение нити термодинамически выгодно, когда эта величина становится отрицательной. Отсюда для нижней критической напряженности получим

(5)

Обратимся теперь к вычислению величины . Ограничимся случаем больших значений параметра Гинзбурга-Ландау . Согласно (4) имеем

. (6)

Как и в задаче 24, удобно ввести безразмерные переменные

( - параметр Гинзбурга-Ландау).

Из (6) получим в новых переменных уравнение

В полярных координатах вектор направлен вдоль кольцевой линии, охватывающей нить (ось нити направлена вдоль Z). В этих же координатах имеет то же направление и вектор . Поэтому указанное уравнение можно переписать в скалярной форме, содержащей лишь безразмерный параметр  :

(7)

Теперь обратимся ко второму уравнению, связывающему магнитное поле и амплитуду спаривания. Оно получается из варьирования свободной энергии по амплитуде спаривания; уравнение было найдено в задаче 24 (см. первое из уравнений (6) задачи 24). При больших параметрах  >> 1 левой частью этого уравнения можно пренебречь. Тогда оно приобретает простой вид

. (8)

Отсюда следует, что максимальное значение векторного потенциала (по модулю) равно (оно достигается в нормальной фазе металла, вблизи оси нити). Подставляя это соотношение в (7), получим замкнутое нелинейное уравнение для безразмерного векторного потенциала магнитного поля

(9)

Из этого уравнения видно, что при  >> 1 магнитное поле является малой величиной. Поэтому можно пренебречь нелинейным членом, и уравнение (9) упрощается:

(10)

Решение соответствующего однородного уравнения представляет собой комбинацию модифицированных функций Бесселя первого и второго рода с нулевым индексом: . Решение неоднородного уравнения имеет вид:

. (11)

Пределы в интегралах выбраны так, что удовлетворялось граничное условие

Рис. 1

На рис. 1 представлен график функции , вычисленный согласно (11).

Используя свойства функций Бесселя, находим индукцию магнитного поля

. (11)

Рис. 2

На рис. 2 представлена индукция магнитного поля, рассчитанная согласно (11).

Вычисляем изменение свободной энергии нити (отнесенную к единице длины нити) по сравнению со свободной энергией сверхпроводника без магнитного поля. В последнем случае (оно неоднократно фигурировало в задачах). При вариации свободной энергии

(12)

по амплитуде спаривания  получим уравнение

.

Подставляя его в (12), упрощаем выражение для свободной энергии

.

Изменение свободной энергии нити по сравнению со свободной энергией сверхпроводника без магнитного поля равно

(13)

Здесь было использовано выражение (8) и тот факт, что магнитный потенциал мал. Рассмотрим сначала вклад второго слагаемого в (13), содержащего . На рис. 3 представлен график функции . Видно, что при оно выходит на константу. Это означает, что с хорошей точностью можно использовать в этой области выражение

(14)

Оно следует и из (10), если в (10) пренебречь левой частью уравнения: это оправдано при . При подстановке (14) в (13) получаем при интегрировании величину . Логарифмическая расходимость интеграла (13) убирается из следующих соображений. Нижний предел интегрирования следует из того факта, что согласно (8) амплитуда спаривания обращается в нуль при , т.е. в соответствии с (14) Значения соответствуют области нормального металла внутри нити. Верхний предел интегрирования в соответствии с рис. 3 – это значения порядка 5 – 10, где достигается асимптотика (14). Итак, с логарифмической точностью получим при интегрировании в (13) величину .

Рис. 3

Подставляя (14) в (13), находим первое критическое поле (с логарифмической точностью)

(15)

Обратимся теперь к вкладу первого слагаемого в (13), содержащего . На рис. 4 представлен график функции . Видно, что при оно убывает. Таким образом, при интегрировании не возникает логарифмической расходимости, и с логарифмической точностью этим слагаемым можно пренебречь.

Рис. 4

Асимптотическое поведение индукции магнитного поля на расстояниях вытекает из (14)