1589806136-29b60f9aa486a84bbde6288d7c24c920 (Электродинамика бутко), страница 6

.

Выражение называется полным электрическим сопротивлением или импедансом.

1. Полагаем . Получим . Величину называют реактивным индуктивным сопротивлением или индуктивным сопротивлением цепи. Индуктивное сопротивление растет с частотой. Постоянному току индуктивность сопротивление не оказывает.

2. Полагаем . Получим . Величину называют реактивным емкостным сопротивлением или емкостным сопротивлением цепи. Емкостное сопротивление убывает с частотой. Для постоянного тока , так как постоянный ток через конденсатор течь не может.

3. Полагаем . Получим . Величину называют реактивным сопротивлением или реактансом.

Используя эти обозначения, можно записать . Если значения отложить вдоль катетов треугольника, то длина гипотенузы будет численно равна .

Определим мощность, выделяемую в цепи переменного тока. Мгновенное значение мощности равно:

.

Среднее по времени значение мощности . Так как , то подставляя это равенство, получим . Такую же мощность развивает постоянный ток, сила которого равна . Эта величина называется действующим или эффективным значением силы тока. Аналогичная величина называется действующим значением напряжения. Выражение средней мощности через действующие значения силы тока и напряжения имеет вид . Множитель называется коэффициентом мощности.

ЛЕКЦИЯ 7

Уравнения Максвелла.

Опыты Фарадея, Ампера, многих других ученых показали, что между электрическим и магнитным полями существует взаимосвязь. Обобщить результаты исследований электрического и магнитного поля удалось Максвеллу.

Если мы обратимся к закону Фарадея и выразим ЭДС индукции через работу сил по перемещению заряда q, то есть, , а изменение потока вектора В через поверхность , то получим первое уравнение Максвелла в интегральной форме:

,

то есть изменение магнитного поля во времени приводит к возникновению вихревого электрического поля. Выражение вида называется циркуляцией вектора.

Для получения второго уравнения Максвелла найдем циркуляцию вектора H вдоль замкнутого контура. Мысленно охватим произвольным контуром, прямолинейный проводник с током I.

Для простоты рассуждений будем считать контур, лежащим в плоскости, перпендикулярной проводнику . Получим .

Обобщая полученное выражение, найдем . Если учесть, так называемый ток смещения, то уравнение будет иметь вид:

Смысл этого выражения в том, что токи создают магнитное поле.

Вспомним теперь теорему Гаусса-Остроградского для векторов :

Полученные четыре уравнения для циркуляции векторов и потока через поверхность векторов представляют собой уравнения Максвелла в интегральной форме.

А теперь обратимся к математике. Существует теорема Стокса: циркуляция вектора вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность, опирающуюся (натянутую) на этот контур. Применяя эту теорему, получим уравнения Максвелла в дифференциальной форме:

,

Применим чисто математическую теорему Гаусса: поток вектора через любую замкнутую поверхность равен дивергенции этого вектора внутри объема, охватываемого этой поверхностью. Получим

.

.

Смысл четвертого уравнения Максвелла в том, что магнитные силовые линии замкнуты, не существует источников, на которых бы начинались или заканчивались магнитные силовые линии. Магнитных монополей не существует.

Уравнения Максвелла дополняются материальными уравнениями связи

, , .

В однородном диэлектрике уравнения Максвелла имеют вид

.

ЛЕКЦИЯ 8

Электромагнитные волны

7.1. Введение.

В курсе “Электромагнетизм” мы выяснили, что переменное электрическое поле порождает магнитное поле, которое тоже оказывается переменным. Это переменное магнитное поле порождает электрическое.

Вспомним уравнения Максвелла и те физические явления, которые описываются этими уравнениями.

(1)

(2)

(3)

(4)

Всякое изменяющееся во времени магнитное поле создает вихревое электрическое поле (1) и всякое изменяющееся во времени электрическое поле создает вихревое магнитное поле (3).

7.2. Качественная картина возбуждения электромагнитных волн.

Пусть в некоторой точке безграничной непроводящей среды создано каким-либо способом электрическое поле . Если нет электрических зарядов, поддерживающих это поле, то оно будет исчезать. Но убывающее электрическое поле, согласно Максвеллу, есть ток смещения, который вызывает магнитное поле . Так как убывает, то ток смещения направлен противоположно полю (или ) и силовые линии магнитного поля – замкнутые кривые, охватывающие этот ток, лежащие в плоскости перпендикулярной току, то есть .

Так как в среде нет постоянных токов, поддерживающих поле , то оно тоже, в свою очередь, убывает и порождает вихревое электрическое поле, направленное, согласно правилу Ленца так, чтобы препятствовать уменьшению магнитного поля ( на рис. 1). В точке О и взаимно уничтожаются, но зато в точке 1 появится электрическое поле , которое уменьшаясь, приведет к появлению магнитного поля . Поле направлено точно так же, как поле . Вблизи точки О эти поля взаимно уничтожатся, но в удаленной точке 1 возникнет поле и так далее.

Таким образом, первоначальное поле создает вихревые электрические и магнитные поля, которые являются взаимосвязанными и распространяющимися в пространстве. Это и есть электромагнитная волна. Из рис. 1 видно, что (где - скорость распространения волны), причем эти векторы связаны между собой правилом правого винта. Это лишь качественное рассмотрение электромагнитной волны, но теория Максвелла позволила не только предсказать существование электромагнитных волн, но и установить строгие количественные соотношения между основными параметрами этих волн.

Пусть в точке О электрическое поле изменяется по гармоническому закону:

. (5)

Пусть электромагнитное поле распространяется вдоль оси Х и, следовательно, в точке, отстоящей от О на расстоянии х также возникнут гармонические изменения поля . Но так как это распространение поля происходит с конечной скоростью , то колебания поля в точке Х будут запаздывать относительно колебаний в точке О на время . Следовательно, колебания электрического поля в точке Х будут:

. (6)

Это выражение является уравнением плоской волны.

Расстояние между двумя точками, колебания вектора в которых отличается по фазе на (например, между двумя соседними максимумами), называется длиной волны . Длина волны есть расстояние, на которое волна распространяется за время одного периода колебаний .

. (7)

Помня, что , перепишем выражение (6):

. (8)

Величина называется волновым числом. Тогда выражение (8) примет вид:

. (9)

Это уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси Х. Аналогичные формулы справедливы для колебаний вектора напряженности магнитного поля. Единственное, что нужно учесть, что электрический и магнитный векторы взаимно перпендикулярны.

7.3. Дифференциальное уравнение электромагнитных волн.

Допустим, что колебание вектора совершается по направлению оси Y, колебание вектора - по направлению оси Z, а волна распространяется вдоль оси X (рис. 2) и допустим, что

,

. (10)

Докажем, что уравнения (10) являются решениями уравнений Максвелла; найдем связь между векторами и , разность фаз и скорость распространения электромагнитной волны .

Используя уравнение Максвелла (1), получим выражение для циркуляции вектора :

,

,

. (11)

(Знак «+» означает уменьшение электрического поля). Так как , , перепишем (11) в виде:

. (12)

Аналогично, используя уравнение Максвелла (3), получим выражение для циркуляции вектора :

,

,

. (13)

Уравнения (12) и (13) являются уравнениями Максвелла в дифференциальной форме в декартовых координатах.

Продифференцируем выражения (9) и (10) по х и по t и подставим в выражения (12) и (13):

,

. (14)

Чтобы эти равенства тождественно выполнялись при любых значениях t и x, необходимо, чтобы . Следовательно, в распространяющейся (бегущей) электромагнитной волне колебания электрического и магнитного полей происходят в фазе. Это значит, что в данный момент времени t в одних и тех же точках пространства электрическое и магнитное поля достигают максимума и в одних и тех же точках имеют нулевые значения. Если же рассматривать какую-либо фиксированную точку пространства, то и одновременно достигают максимума и одновременно обращаются в нуль.

Преобразуя выражения (14), получим: