ответы КВ5 (Ответы к контрольному заданию 5)

Контрольные вопросы к главе 5

1. Какой пакет следует загрузить перед решением задач линейной алгебры в Maple?

Основная часть команд для решения задач линейной алгебры содержится в библиотеке linalg. Поэтому перед решением задач с матрицами и векторами следует загрузить эту библиотеку командой with(linalg).

1. С помощью каких команд можно ввести вектор, матрицу?

Для определения вектора в Maple используется команда vector([x1,x2,…,xn]), где в квадратных скобках через запятую указываются координаты вектора.

Для определения матрицы в Maple можно использовать команду matrix(n, m, [[a11,a12,…,a1n], [a21,a22,…,a2m],…, [an1,an2,…,anm]]), где n  число строк, m – число столбцов в матрице. Эти числа задавать необязательно, а достаточно перечислить элементы матрицы построчно в квадратных скобках через запятую.

1. Какими двумя командами можно сложить два вектора одинаковой размерности (2 матрицы)?

• evalm(a+b);

• matadd(a,b).

Команда add позволяет вычислять линейную комбинацию векторов и : , где  скалярные величины, если использовать формат: matadd(a,b,alpha,beta).

1. Какие виды произведений векторов вычисляются Maple и какие команды для этого используются?

Скалярное произведение двух векторов вычисляется командой dotprod(a,b).

Векторное произведение двух векторов вычисляется командой crossprod(a,b).

1. Как вычислить норму вектора?

Норму (длину) вектора , которая равна , можно вычислить с помощью команды norm(а,2).

Можно нормировать вектор а с помощью команды normalize(a), в результате выполнения которой будет получен вектор единичной длины .

1. Как вычислить угол между двумя векторами?

Угол между двумя векторами a и b вычисляется с помощью команды angle(a,b).

1. Опишите команды нахождения базиса системы векторов и построение ортогонального базиса системы векторов.

Если имеется система n векторов , то с помощью команды basis([a1,a2,…,an]) можно найти базис этой системы.

При помощи команды GramSchmidt([a1,a2,…,an]) можно ортогонализовать систему линейно-независимых векторов .

1. Какими двумя командами можно вычислить произведение двух матриц (или матрицы на вектор)?

• evalm(A&*B);

• multiply(A,B).

В качестве второго аргумента в командах, вычисляющих произведение, можно указывать вектор,

Команда evalm позволяет также прибавлять к матрице число и умножать матрицу на число.

1. Какие команды используются для нахождения определителя, минора, алгебраического дополнения, следа матрицы?

Определитель матрицы А вычисляется командой det(A). Команда minor(A,i,j) возвращает матрицу, полученную из исходной матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Минор M_ij элемента a_ij матрицы А можно вычислить командой det(minor(A,i,j)). Ранг матрицы А вычисляется командой rank(A). След матрицы А, равный сумме ее диагональных элементов, вычисляется командой trace(A).

1. Что такое транспонирование матрицы? Какие команды при этом используются?

Транспонирование матрицы А – это изменение местами строк и столбцов. Полученная в результате этого матрица называется транспонированной и обозначается А'. Транспонированную матрицу А' можно вычислить командой transpose(A).

1. Какая матрица называется обратной и какими способами она вычисляется в Maple?

Обратную матрицу А^1, такую что А^1А=АА^1=Е, где Е  единичная матрица, можно вычислить двумя способами:

• evalm(1/A);

• inverse(A).

1. Что называется собственным вектором и собственным числом матрицы? Что называется спектром матрицы? Какие команды используются для нахождения спектра матрицы и ее собственных векторов? В каком виде в Maple выводятся результаты выполнения этих команд?

Если Ах=х, то вектор х называется собственным вектором матрицы А, а число  – собственным числом, соответствующим данному собственному вектору. Совокупность всех собственных чисел матрицы называется спектром матрицы.

Для нахождения собственных чисел матрицы А используется команда eigenvalues(A). Для нахождения собственных векторов матрицы А используется команда eigenvectors(A).

1. Перечислите специальные виды матриц и команды, приводящие матрицы к этим формам.

Привести матрицу А к нормальной форме Жордана можно командой jordan(A).

К треугольному виду матрицу А можно привести тремя способами:

• Команда gausselim(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса;

• Команда ffgausselim(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса без деления. Эта команда предпочтительней для работы с символьными матрицами, так как не производит нормировку элементов и исключает возможные ошибки, связанные с делением на нуль;

• команда gaussjord(A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса-Жордана.

Характеристическую матрицу можно вычислить командой charmat(A,lambda).

1. Что называется ядром матрицы, и какая команда используется для его нахождения?

Ядро матрицы А – это множество векторов х таких, произведение матрицы А на которые равно нулевому вектору: Ax=0. Поиск ядра матрицы А эквивалентен решению системы линейных однородных уравнений. Найти ядро матрицы А можно командой kernel(A).

1. Какая команда позволяет решать матричные уравнения?

С помощью команды linsolve(A,b) можно найти решение матричного уравнения АХ=В, если в качестве аргументов этой команды указать, соответственно, матрицы А и В.