ответы КВ4 (Ответы к контрольному заданию 4)

Контрольные вопросы к главе 4

1) В Maple для некоторых математических операций существует по две команды: одна прямого, а другая – отложенного исполнения. Имена команд состоят из одинаковых букв за исключением первой: команды прямого исполнения начинаются со строчной буквы, а команды отложенного исполнения – с заглавной. После обращения к команде отложенного действия математические операции (интеграл, предел, производная и т.д.) выводятся на экран в виде стандартной аналитической записи этой операции. Вычисление в этом случае сразу не производится. Команда прямого исполнения выдает результат сразу.

2) Для вычисления пределов используется команда limit(expr,x=a,par). Регистр первой буквы зависит от того, какой именно командой она является, т.е. прямого или отложенного исполнения. Параметрами команды являются expr – выражение, предел которого следует найти, a – значение точки, для которой вычисляется предел, par – необязательный параметр для поиска односторонних пределов (left – слева, right – справа) или указание типа переменной (real – действительная, complex – комплексная).

3) Для вычисления производных в Maple имеются две команды:

1) прямого исполнения – diff(f,x), где f – функция, которую следует продифференцировать, x – имя переменной, по которой производится дифференцирование.

2) отложенного исполнения – Diff(f,x), где параметры команды такие же, как и в предыдущей. Действие этой команды сводится к аналитической записи производной в виде f (x).

После выполнения дифференцирования, полученное выражение желательно упростить. Для этого следует использовать команды simplify factor или expand, в зависимости от того, в каком виде вам нужен результат. Для вычисления производных старших порядков следует указать в параметрах x$n, где n – порядок производной. Полученное выражение можно упростить двумя командами: simplify(%); combine(%).

4) Проверить непрерывность функции f(x) на заданном промежутке [x1, x2] можно с помощью команды iscont(f,x=x1..x2). Если функция f непрерывна на этом интервале, то в поле вывода появится ответ true – (истина); если функция f не является непрерывной на этом интервале, то в поле вывода появится ответ false – (ложь).

5) Для того, чтобы исследовать функцию y=f(x) на экстремумы с указанием их характера (max или min) и координат (x, y) следует сначала выполнить команду:

> extrema(f,{},x,’s’);s;

а затем выполнить команды maximize(f,x); minimize(f,x).

После этого будут полностью найдены координаты всех экстремумов и определены их характеры (max или min).

6) Команда extrema не может дать ответ на вопрос, какая из точек экстремума есть максимум, а какая – минимум. Недостаток команд maximize и minimize в том, что они выдают только значения функции в точках максимума и минимума, соответственно. Так же команды maximize и minimize быстро находят абсолютные экстремумы, но не всегда пригодны для нахождения локальных

экстремумов. Команда extrema вычисляет так же критические точки, в которых функция не имеет экстремума. В этом случае экстремальных значений функции в первой строке вывода будет меньше, чем вычисленных критических точек во второй строке вывода.

7) Исследование функции по общей схеме:

1. Область определения функции f(x) – полностью может быть указана после исследования функции на непрерывность.

2. Непрерывность и точки разрыва функции f(x) исследуются по схеме:

> iscont(f, x=-infinity..infinity);

> d1:=discont(f,x);

> d2:=singular(f,x);

В результате наборам переменным d1и d2 будут присвоены значения x-координат в точках разрыва 1 и 2-го родов (если они будут найдены).

3. Асимптоты. Точки бесконечных разрывов определяют вертикальные асимптоты графика f(x). Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид:

> yr:=d2;

Поведение функции f(x) на бесконечности характеризуется наклонными асимптотами (если они есть). Уравнение наклонной асимптоты y=kx+b, где коэффициенты вычисляются по формулам:

и

Аналогичные формулы для x → −∞. Поэтому нахождение наклонных асимптот можно провести по следующей схеме:

> k1:=limit(f(x)/x, x=+infinity);

> b1:=limit(f(x)-k1*x, x=+infinity);

> k2:=limit(f(x)/x, x=-infinity);

> b2:=limit(f(x)-k2*x, x=-infinity);

Часто оказывается, что k1=k2 и b1=b2, в этом случае будет одна асимптота при x → +∞ и при x → −∞ . С учетом этого составляется уравнение асимптоты:

> yn:=k1*x+b1;

4. Экстремумы. Исследование функции f(x) на экстремумы можно проводить по схеме:

> extrema(f(x), {}, x, ’s’);

> s;

> fmax:=maximize(f(x), x);

> fmin:=minimize(f(x), x);

После выполнения этих команд будут найдены координаты (x, y) всех максимумов и минимумов функции f(x).

Построение графика:

Построение графика функции f(x) – это окончательный этап исследования функции. На рисунке помимо графика исследуемой функции f(x) должны быть нанесены все ее асимптоты пунктирными линиями, подписаны координаты точек max и min.

8) Неопределенный интеграл вычисляется с помощью 2-х

команд:

1) прямого исполнения – int(f, x), где f – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования;

2) отложенного исполнения – Int(f, x) – где параметры команды такие же, как и в команде прямого исполнения int. Команда Int выдает на экран интеграл в аналитическом виде математической формулы.

Для вычисления определенного интеграла в командах int и Int добавляются пределы интегрирования.

9) Ввести ограничения на параметры для вычисления интегралов, зависящих от параметров можно при помощи команды assume(expr1), где expr1 – неравенство. Дополнительные ограничения вводятся с помощью команды additionally(expr2), где expr2 – другое неравенство, ограничивающее значение параметра, с другой стороны.

10) В Maple имеется пакет student, предназначенный для обучения математике. Он содержит набор подпрограмм, предназначенных для выполнения расчетов шаг за шагом, так, чтобы была понятна последовательность действий, приводящих к результату.

11) Команда для интегрирования по частям inparts. Если обозначить подынтегральную функцию , то параметры команды интегрирования по частям такие:

intparts(Int(f, x), u), где u – именно та функция u(x), производную от которой предстоит вычислить по формуле интегрирования по частям.

12) Команда для интегрирования методом замены переменных changevar. Если в интеграле требуется сделать замену переменных x=g(t) или t=h(x), то параметры команды замены переменных такие:

changevar(h(x)=t, Int(f, x), t), где t – новая переменная.