L_6_4_Ploskoe_dvizhenie_tverdogo_tela (лекции теормех)

Плоскопараллельное движение твёрдого тела

Плоскопараллельное движение твёрдого тела - движение твёрдого тела, при котором каждая его точка движется в плоскости, параллельной некоторой плоскости, неподвижной в рассматриваемой системе отсчёта. Изучение плоскопараллёльного движения твёрдого тела сводится к изучению движения неизменяемой плоской фигуры в неподвижной плоскости, совпадающей с плоскостью этой фигуры.

◊ Плоское движение твёрдого тела.

Рис. 1

Если взять любую прямую, перпендикулярную основной плоскости, то все точки этой прямой совершают поступательное движение. Такие прямые можно провести через все точки тела. Следовательно, движение тела определяется движением сечения тела плоскостью, параллельной основной плоскости. Движение плоской фигуры по неподвижной плоскости определяется движением отрезка прямой в этой плоскости. Степень свободы плоской фигуры, движущейся по неподвижной плоскости равна 3, так как положение отрезка определяется положением двух его точек , , расстояние между которыми постоянно:

.

Закон плоскопараллёльного движения твёрдого тела - закон изменения во времени координат полюса и угла поворота отрезка:

, , .

◊ Уравнения плоского движения твёрдого тела, уравнения движения плоской фигуры.

Рис. 2

Поступательное движение плоской фигуры. Такое движение плоской фигуры, при котором любая прямая, взятая в плоскости движущейся фигуры, остаётся параллельной некоторой фиксированной на этой плоскости прямой. Закон поступательного движения: , .

Рис. 3

Вращательное движение плоской фигуры - такое движение плоской фигуры по неподвижной плоскости, при котором одна её точка остаётся неподвижной. Закон вращательного движения: .

Полюс - произвольная точка твёрдого тела (плоской фигуры), фиксированная в нём.

Рис. 4 Рис. 5

1. Теорема о произвольном перемещении плоской фигуры: произвольное перемещение плоской фигуры в её плоскости можно осуществить посредством поступательного перемещения вместе с произвольной точкой (полюсом) и вращательного перемещения вокруг полюса. При этом поступательное перемещение зависит от выбора полюса, а величина угла поворота и направление поворота от выбора полюса не зависят (рис. 6).

2. Теорема о непоступательном перемещении плоской фигуры: произвольное непоступательное перемещение плоской фигуры в её плоскости можно осуществить посредством одного вращения вокруг некоторого центра (рис. 7).

◊ Теорема Эйлера-Шаля, теорема Шаля.

Центр конечного поворота. Точка , поворотом вокруг которой плоскую фигуру можно переместить в её плоскости из одного положения в другое.

◊ Полюс конечного вращения, центр.

Рис. 6 Рис. 7

Скорость точки плоской фигуры. Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки в её вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса: . – вектор мгновенной угловой скорости плоской фигуры, , где - орт оси, перпендикулярной неподвижной плоскости. Вектор мгновенной угловой скорости - вектор , линия действия которого перпендикулярна плоскости плоской фигуры, направленный в ту сторону, откуда вращение плоской фигуры видно происходящим против хода часовой стрелки, и величина которого равна абсолютной величине угловой скорости: .

◊ Вектор угловой скорости плоской фигуры.

◊ Распределение линейных скоростей плоской фигуры, теорема о скоростях точек плоской фигуры.

Рис. 8

План скоростей - фигура, представляющая собой графическую картину распределения скоростей точек плоской фигуры. На рис. 10 – план скоростей: – вершины; – полюс плана скоростей.

Рис. 9 Рис. 10

Мгновенный центр скоростей - точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю . Если сечения тела и , то радиус-вектор точки определяется как решение уравнения :

.

Приняв мгновенный центр скоростей за полюс, можно определить скорость любой точки плоской фигуры как скорость точки, совершающей вращение вокруг полюса: , .

Рис. 12 Рис. 13

Мгновенный центр вращения - точка неподвижной плоскости, поворотом вокруг которой плоская фигура перемещается из данного положения в положение, бесконечно близкое к нему.

Неподвижный центроид - геометрическое место мгновенных центров вращения в неподвижной плоскости.

◊ Неподвижная полодия.

Параметрические уравнения неподвижного центроида записываются как закон движения мгновенного центра вращения по неподвижной плоскости , определяемый движением плоской фигуры:

, .

Уравнение неподвижного центроида получается исключением параметра из параметрических уравнений неподвижного центроида: .

Подвижный центроид - геометрическое место мгновенных центров скоростей в плоскости, связанной с движущейся плоской фигурой.

◊ Подвижная полодия.

Параметрические уравнения подвижного центроида записываются как закон движения мгновенного центра скоростей по подвижной плоскости , связанной с движущейся плоской фигурой:

.

Уравнение подвижного центроида получается исключением параметра из параметрических уравнений подвижного центроида: .

Геометрическая интерпретация плоского движения может быть сформулирована следующим утвверждением.

Теорема Пуансо. При плоскопараллельном движении подвижный центроид катится по неподвижному центроиду без скольжения.

◊ Теорема о качении подвижного центроида по неподвижному центроиду, геометрическая интерпретация плоскопараллельного движения.

Пример. Рассмотрим движение отрезка , концы которого скользят вдоль осей неподвижной системы координат (кривошипно-шатунный механизм). Если закон движения отрезка определяется движением середины отрезка , соответствующим закону вращения кривошипа , то - длина кривошипа, и проекции скоростей точек на ось, проведенную через точки равны,

.

Мгновенный центр вращений имеет следующие координаты в неподвижной системе координат :

Исключая параметр , получаем уравнение неподвижного центроида:

Аналогично определяются координаты мгновенного центра скоростей в подвижной системе координат с началом в точке и осями направленными вдоль отрезка и перпендикулярно к нему:

Уравнение подвижного центроида записываются в следующем виде:

Ускорение точки плоской фигуры. Ускорение точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки в её вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса: , где – ускорение вращательного движения точки плоской фигуры вокруг полюса: , где – вращательное ускорение, – центростремительное ускорение, – вектор углового ускорения плоской фигуры.

◊ Распределение ускорений при плоскопараллёльном движении твёрдого тела, теорема об ускорениях точек плоской фигуры.

Вектор мгновенного углового ускорения. Вектор , равный производной от вектора мгновенной угловой скорости: . Линия действия вектора углового ускорения перпендикулярна плоскости плоской фигуры, величина равна абсолютной величине углового ускорения плоской фигуры, направление совпадает с направлением вектора угловой скорости при и противоположно ему при .

◊ Вектор углового ускорения плоской фигуры.

Угловое ускорение плоской фигуры в данный момент времени - алгебраическая величина производной по времени от угловой скорости: . ◊ Мгновенное угловое ускорение.

Рис. 14 Рис. 15

Мгновенный центр ускорений - точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент равно нулю: .

Так как ускорение произвольной точки тела в плоском движении определяется выражением

, (1)

где -полюс, , то радиус-вектор мгновенного центра ускорений должен удовлетворять равенству

Умножив равенство (1) слева векторно на , определяем выражение вектора

(2)

Из равенств (1),(2) определяется положение мгновенного центра ускорений

,

где - угол отклонения вектора от . Введем прямоугольную ортогональную систему координат с ортами осей , первый из которых направлен по линии действия ускорения полюса, , второй ортогонален ему: . Тогда

Если принять мгновенный центр ускорения в качестве полюса, то и ускорение произвольной точки подвижной плоскости складывается из двух составляющих:

Если известны вектор и алгебраические величины , то для определения ускорения точки достаточно определить угол , провести из точки направление под углом к вектору и отложить отрезок длиной .