L_6_3_Dvizhenie_svobodnogo_tverdogo_tela (лекции теормех)

Произвольное движение твердого тела

Теорема Шаля. Всякое перемещение свободного твёрдого тела может быть получено посредством поступательного перемещения вместе с полюсом и поворота вокруг полюса.

Закон движения свободного твёрдого тела – закон изменения шести независимых параметров: координат полюса в неподвижной системе отсчёта и трёх параметров, например углов Эйлера, определяющих ориентацию подвижной системы координат относительно неподвижной:

, .

◊ Закон произвольного движения твёрдого тела, уравнения движения твёрдого тела.

Скорость произвольной точки свободного твёрдого тела. Скорость произвольной точки твёрдого тела равна векторной сумме скорости её поступательного движения вместе с полюсом и скорости вращательного движения вокруг полюса:

◊ Теорема о скоростях точек свободного твёрдого тела, распределение линейных скоростей в свободном твёрдом теле.

Рис. 1

Скорость полюса: определяет скорость поступательного движения твердого тела. Скорость вращательного движения точки тела равна векторному произведению вектора мгновенной угловой скорости твёрдого тела на радиус-вектор точки относительно полюса : . Из теоремы о скоростях точек твердого тела следуют некоторые свойства скоростей точек свободного твёрдого тела.

Следствие 1. Основная теорема кинематики твёрдого тела. Проекции скоростей точек свободного твёрдого тела на ось, проходящую через эти точки, равны.

Рис. 2

Действительно, если - орт оси, соответствующей прямой АВ, то

Следовательно,

Следствие 2. Концы скоростей точек свободного твёрдого тела, расположенных на отрезке прямой, лежат на одной прямой и делят отрезок этой прямой на части, пропорциональные расстояниям между этими точками:

.

Следствие 3. Скорости точек свободного твёрдого тела, расположенных в рассматриваемый момент на прямой, параллельной мгновенной оси, геометрически равны.

Следствие 4. Проекции скоростей всех точек твёрдого тела на мгновенную ось вращения тела равны.

Рис. 3

Докажем, что вектор угловой скорости не зависит от выбора полюса. Определим скорость точки М тела, выбрав два разных полюса в точках С и D и полагая, что им соответствуют различные векторы угловых скоростей

, (1)

. (2)

Определим скорость точки , в предположении, что за полюс принята точка :

. (3)

Из выражений (1)-(3) следует равенство

. (4)

Но так как , а точки и являются произвольными, то из равенства (4) следует, что .

Винтовое движение твердого тела. Пусть известны векторы и . Поставим следующую задачу: определить точку , скорость которой была бы коллинеарна вектору угловой скорости твердого тела:

(5)

Совокупность векторов , удовлетворяющих равенству (5), составляют кинематический винт. Их общая линия действия, на которой указано направление , является винтовой осью. Радиус-вектор искомой точки с началом в полюсе С должен удовлетворять условию

.

Определив общее решение уравнения

равенством

находим, что множество точек винтовой оси соответствует прямой, описываемой уравнением

.

Вектор определяется с точностью до произвольного вектора , коллинеарного вектору угловой скорости .

Принимая за полюс точку на винтовой оси, определим скорость произвольной точки М тела выражением

(6)

Из равенства (6) следуют некоторые свойства скоростей точек тела при свободном движении.

1. Проекции скоростей всех точек тела на мгновенную винтовую ось одинаковы.

Действительно, если - орт винтовой оси и , , то

1. Скорости точек мгновенной винтовой оси имеют наименьшую величину по сравнению со всеми другими точками тела.

Так как в силу равенства , то утверждение очевидно:

Геометрическая интерпретация свободного движения твердого тела

, - ось, которая с течением времени меняет свое положение в пространстве.

Вследствие того, что мгновенная винтовая ось перемещается в пространстве при свободном движении твердого тела, то она чертит поверхности в подвижной системе координат и в неподвижной системе. Геометрическое место мгновенных винтовых осей в неподвижной системе координат образует неподвижный винтовой аксоид. Геометрическое место мгновенных винтовых осей в подвижной системе координат, жёстко связанной с движущимся телом, образует подвижный винтовой аксоид. Подвижный винтовой аксоид и неподвижный винтовой аксоид в каждый момент времени имеют общую образующую – мгновенную винтовую ось.

Теорема Пуансо. Произвольное движение твёрдого тела можно представить как качение подвижного винтового аксоида по неподвижному винтовому аксоиду с одновременным скольжением вдоль их общей образующей – мгновенной винтовой оси.

Рис. 4

Ускорение точки свободного твёрдого тела равно векторной сумме векторов ускорения полюса, осестремительного ускорения, направленного к мгновенной оси вращения, и вращательного ускорения точки, определённого относительно оси углового ускорения:

Ускорение полюса полюса в его движении относительно неподвижной системы координат: . Ускорение полюса состоит из двух составляющих: , касательной составляющей , направленной по касательной к траектории полюса , и нормальной составляющей , направленной по главной нормали к траектории .

Осестремительное ускорение точки свободного твёрдого тела – составляющая ускорения вращательного движения твёрдого тела вокруг полюса, направленная перпендикулярно мгновенной оси вращения:

Величина осестремительного ускорения точки тела равна произведению квадрата величины угловой скорости твёрдого тела на расстояние от точки до мгновенной оси вращения : .

Рис. 5

Вращательное ускорение точки свободного твёрдого тела – составляющая ускорения вращательного движения твёрдого тела вокруг полюса, направленная перпендикулярно плоскости, проходящей через ось углового ускорения и данную точку тела:

.

Величина вращательного ускорения точки тела равна произведению величины углового ускорения тела на расстояние от точки до оси углового ускорения : .

Вектор углового ускорения твердого тела. Кинематическая характеристика движения твёрдого тела, определяемая как производная по времени от вектора угловой скорости этого тела: . Линия действия векторов и в общем случае не совпадают. Вектор углового ускорения не изменяется при изменении полюса.

◊ Угловое ускорение твёрдого тела.

Ось углового ускорения. Ось , направленная по линии действия вектора углового ускорения твёрдого тела.