L_6_2_Vraschenie_TT_vokrug_nepodvizhnoi_ 774_tochki (лекции теормех)

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки

Движение твёрдого тела, при котором одна из его точек остаётся неподвижной в рассматриваемой системе отсчёта. Положение твёрдого тела определяется положением подвижной системы координат , жёстко связанной с твёрдым телом и с началом в неподвижной точке , относительно неподвижной системы отсчёта .

◊ Вращение твёрдого тела около неподвижной точки, движение твёрдого тела с одной неподвижной точкой, сферическое движение твёрдого тела.

Рис. 1

Если определять положение твердого тела тремя углами Эйлера , определяющими положение подвижной системы координат относительно неподвижной системы, то закон движения твердого тела можно представить функциями , , , составляющими уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки или уравнения сферического движения. При этом порядок следования поворотов является существенным. Первый поворот производится вокруг оси , на угол – угол прецессии, второй поворот – вокруг линии узлов на угол – угол нутации, третий поворот – вокруг оси на угол – угол собственного вращения. Каждому повороту соответствует своя угловая скорость: , которые в сумме составляют вектор угловой скорости тела

.

◊ Угловая скорость твёрдого тела, мгновенная угловая скорость. Существенным отличием вектора угловой скорости тела с неподвижной точкой от вектора угловой скорости тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, является изменение его не только по величине, но и по направлению: . Линия действия вектора является мгновенной осью вращения с ортом . Уравнение мгновенной осью вращения определяется из равенства

, (1)

откуда следует, что . Уравнения соответствующей прямой в неподвижной системе отсчета и в подвижной системе координат в момент времени определяются равенствами

, . (2)

Производная от вектора угловой скорости по времени является вектором углового ускорения твердого тела:

. (3)

Из равенства (3) следует, что при вращении тела вокруг неподвижной точки линии действия векторов и в общем случае не совпадают.

Скорость точки твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определяется так, как если бы тело вращалось вокруг оси, совпадающей в данный момент с мгновенной осью вращения

. (4)

Рис. 2

В частности, величина скорости точки в данный момент определяется равенством , где – абсолютная величина мгновенной угловой скорости тела в данный момент, – расстояние от точки до мгновенной оси вращения. Скорость точки направлена перпендикулярно плоскости, проходящей через мгновенную ось вращения и её радиус-вектор в ту сторону, откуда поворот к вектору на угол меньший виден в направлении, противоположном ходу стрелки часов.

Ускорение точки твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определяется производной от вектора угловой скорости (4):

Вектор

представляет вектор вращательного (касательного) ускорения точки тела. Направление вектора в общем случае не совпадает с направлением вектора скорости точки . Вектор

является вектором осестремительного (нормального) ускорения точки тела. Векторы и в общем случае не перпендикулярны.

Рис. 3

Теорема Ривальса. Ускорение точки твёрдого тела, вращающегося около неподвижной точки, определяется как сумма её вращательного и осестремительного ускорений.

Прецессия. Движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки, состоящее из его вращения вокруг оси собственного вращения и движения, при котором эта ось вращается вокруг пересекающей её оси прецессии: . ◊ Прецессионное движение.

Прецессия оси собственного вращения. Движение, совершаемое при прецессии тела осью собственного вращения. При этом ось собственного вращения описывает круговую коническую поверхность вокруг неподвижной оси прецессии.

Рис. 4

Прямая прецессия. Прецессионное движение твёрдого тела при . Обратная прецессия. Прецессионное движение твёрдого тела при . Регулярная прецессия. Прецессия, при которой вращения вокруг собственной оси и вокруг оси прецессии , являются равномерными: , .

Векторы , так же, как и , обычно определяются проекциями на оси подвижной системы координат. Составляющие этих векторов в неподвижной системе легко могут быть определены соответствующим преобразованием. Так, если - радиус-вектор точки тела в системе , полученной в результате поворота плоскости тела вокруг неподвижной оси на угол , то векторы и связаны соотношением , или

.

Трем последовательным поворотам тела на углы соответствует один поворот, определяемый матрицей

,

Таким образом устанавливаются соотношения между радиус-вектором точки тела в подвижной системе координат и соответствующим вектором в неподвижной системе

, .

Теорема Эйлера. Произвольное конечное перемещение твердого тела с одной неподвижной точкой можно представить вращением вокруг некоторой оси, называемой осью конечного вращения.

Если существует ось конечного вращения, то при перемещении тела радиус-вектор любой точки оси должен оставаться неизменным: . Это означает, что характеристическое уравнение матрицы А

должен иметь корень . Для того, чтобы убедиться в этом, достаточно вычислить величину

. (5)

Матрица А является унитарной, , и умножение правой части равенства (5) на не влияет на ее величину. Следующая цепочка преобразований

приводит к требуемому равенству .

Можно также определить величину угла , необходимого для приведения тела из начального положения в конечное положение. Так как матрица А определяется величинами , то ее элементы известны, и из равенства

следует, что след матрицы А совпадает со следом матрицы поворота тела вокруг оси конечного вращения:

.

Геометрическая интерпретация

движения твердого тела с неподвижной точкой

Исключая параметр из уравнений мгновенной оси вращения твердого тела

, , (2)

получим уравнения двух поверхностей. Неподвижный аксоид - геометрическое место мгновенных осей вращения в неподвижной системе отсчёта. Параметрические уравнения неподвижного аксоида

.

Исключая параметр , можно получить уравнение неподвижного аксоида

.

Подвижный аксоид - геометрическое место мгновенных осей вращения в подвижной системе отсчёта, связанной с твёрдым телом. Параметрические уравнения подвижного аксоида:

.

Уравнение подвижного аксоида

.

Теорема Пуансо (геометрическая интерпретация движения твёрдого тела с одной неподвижной точкой). При движении твёрдого тела вокруг неподвижной точки подвижный аксоид катится по неподвижному без скольжения.

2