L_5_Slozhnoe_dvizhenie_tochki (лекции теормех)

Сложное движение точки

Пусть точка движется относительно некоторой подвижной системы отсчета , которая в свою очередь перемещается по отношению к неподвижной (основной) системе . Тогда движение, скорость и ускорение точки, рассматриваемые по отношению к системе , называются относительными, а по отношению к системе – абсолютными.

Разумеется, что термин "абсолютный" есть лишь способ выражения, обозначающий, что соответствующие величины отнесены к системе , которая является основной. В этом же условном смысле основную систему называют неподвижной.

Движение подвижной системы по отношению к неподвижной системе является для движущейся точки переносным движением, а скорость и ускорение той неизменно связанной с подвижной системой отсчета точки пространства, в которой в данный момент времени находится движущаяся точка, называются переносными. Другими словами, в каждый момент времени переносную скорость и переносное ускорение точки можно представить себе как ту скорость и то ускорение, которые движущаяся точка имела бы в данный момент времени, если бы она была закреплена в подвижной системе координат , т.е. не совершала относительного движения.

Таким образом, абсолютное движение является сложным движением, которое складывается из движения относительного и движения переносного. Например, Луна, которую в космическом пространстве можно рассматривать как материальную точку, участвует в движении Земли относительно Солнца. Движение Луны относительно Земли является переносным движением. Движение Луны относительно Солнца является сложным движением.

Задача изучения сложного движения точки ставится как задача определения зависимостей между элементами абсолютного, относительного и переносного движений точки. Эти задачи называются задачами сложения движений, скоростей и ускорений.

Сложение движений точки. Определим зависимость между законами абсолютного, относительного и переносного движений материальной точки (рис. 1).

Рис 1

Пусть известен закон движения начала подвижной системы координат , закон изменения ориентации осей подвижной системы координат

и закон относительного движения точки

.

Тогда закон абсолютного движения точки определяется суммой:

, (1)

, (2)

, (3)

. (4)

Таким образом, радиус-вектор точки в ее абсолютном движении определяется как геометрическая сумма радиус-вектора начала подвижной системы координат и радиус-вектора в ее относительном движении.

Из выражений (1)–(4) следует, что для определения закона движения точки относительно неподвижной системы координат необходимо знать закон изменения вектора и закон изменения направлений единичных ортов подвижной системы координат относительно неподвижной системы . Определим проекции единичных векторов на оси неподвижной системы элементами матрицы , ,

,

, (5)

.

Вследствие того, что орты взаимно ортогональны, и каждый вектор имеет длину равную единице, элементы матрицы должны удовлетворять условиям:

, , , . (6)

Так как равенства (6) представляют собой 6 условий наложенных на 9 элементов матрицы , то для определения элементов этой матрицы оказывается достаточным задание трех параметров , через которые могут быть однозначно определены элементы матрицы : . Таким образом, закон переносного движения может быть задан законом изменения положения начала подвижной системы координат и изменением ориентации ее осей, которое определяется изменением во времени параметрами :

,

.

Из равенств (2)-(6) следует

Теорема о сложении движений. Абсолютное движение точки складывается из переносного движения точки и ее относительного движения:

,

,

.

Пример. Определить закон движения точки обода колеса, которое катится по прямой без скольжения. Обод колеса представим окружностью радиуса , центр которой движется вдоль прямой, параллельной оси по закону

. (7)

За подвижную систему координат примем систему с началом в центре окружности и осями, параллельными осям неподвижной системы . Тогда равенства (7) представляют закон изменения положения начала подвижной системы координат, ориентация осей подвижной системы остается неизменной

. (8)

Равенствам (8) соответствует единичная матрица перехода

.

Закон относительного движения точки по окружности

(9)

определяется изменением угла поворота соответствующего радиуса вокруг оси , отсчитываемого от положительного направления оси . Закон изменения угла следует из равенства длины дуги отрезку , где точка касания окружности с прямой:

. (10)

Из равенств (9),(10) следует закон относительного движения

. (11)

Окончательно закон абсолютного движения точки определяется равенствами

, (12)

представляющими параметрические уравнения циклоиды – траектории движения точки.

Рис. 2

Сложение скоростей точки. В соответствии с определением абсолютная скорость точки есть вектор, полученный в результате дифференцирования соответствующего радиус-вектора . Поэтому из выражения

(1)

следует равенство

, (13)

где – абсолютная скорость точки, – скорость начала подвижной системы координат. Обозначение соответствует названию абсолютной скорости точки на французском языке vitesse absolue. Производная вектора вычисляется с учетом равенства (4):

(14)

Из равенства (14) видно, что выражение производной от радиус-вектора содержит две группы слагаемых. Первую группу составляет сумма , которая получается, если дифференцировать радиус-вектор в предположении, что направления осей координат подвижной системы, которые задаются векторами , не меняются. Производную, вычисленную таким образом, называют локальной производной и обозначают символом

.

Очевидно, локальная производная представляет собой скорость точки по отношению к системе координат, ортами которой являются векторы , то есть относительную скорость (vitesse relative)

.

Остается вычислить производные . Для этого используем известные равенства

, (15)

. (16)

Дифференцирование первого равенства из (15) приводит к соотношению , которое означает, что вектор должен быть ортогонален вектору . Следовательно, его можно представить в виде векторного произведения некоторого вектора на вектор :

. (17)

Аналогично получаем равенства:

, (18)

. (19)

Далее, продифференцируем равенства (16) с учетом выражений (17)-(19):

,

, (20)

Выражения (20) после преобразований с учетом циклической перестановки сомножителей в смешанном произведении векторов и очевидных равенств , , приводятся к виду

, , .

Следовательно, координаты векторов должны удовлетворять равенствам:

.

Учитывая, что могут быть определены произвольным образом, можно утверждать, что векторы должны быть равны одному вектору :

и соответствующие выражения производных, определяются через общий множитель :

, , . (21)

Вектор называется мгновенной угловой скоростью вращения подвижной системы координат и может быть определен по известным значениям векторов , :

. (22)

Действительно, если умножим равенства (21) слева соответственно на векторы и сложим, то, учитывая разложение двойного векторного произведения, будем иметь:

. (23)

Проведенные вычисления показывают, что из равенств (20)-(22) следует выражение производной вектора , заданного в подвижной систем координат:

. (24)

Выражение (13) для абсолютной скорости точки с учетом равенства (24) приводится к виду:

. (25)

Правая часть равенства (25) может быть интерпретирована следующим образом. Первое слагаемое представляет собой скорость начала подвижной системы координат , второе слагаемое есть вращательная скорость той геометрической точки подвижной системы координат, в которой находится материальная точка в данный момент времени, – скорость точки в относительном движении. Так как выражение зависит только от движения точки, фиксированной в подвижном пространстве, то оно представляет собой переносную скорость точки (vitesse d’entrainement): . В итоге получаем следующее утверждение.

Теорема. Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее переносной скорости и относительной скорости.

, , . (26)

Частные виды движения точки.

1. Если подвижная система совершает только вращательное движение: , то

1. Если подвижная система совершает лишь поступательное движение: , то

.

1. Если положение подвижной системы зафиксировано в неподвижной системе координат : , , то

.

1. Если точка закреплена в подвижной системе координат: , то и

.

1. Если точка закреплена в неподвижной системе координат: , то , и

.

Пример. Объяснение аберрационного движения звезд. Основную систему координат свяжем жестко с плоскостью движения Земли вокруг Солнца. Подвижную систему свяжем с центром Земли и предположим, что она движется поступательно относительно основной системы со скоростью . Рассмотрим свет, падающий от звезды, как поток прямолинейно движущихся квантов со скоростями в основной системе и в подвижной системе отсчета. Тогда (рис.13) согласно теореме о сложении скоростей имеем равенство:

.