L_4_Skorost_i_uskorenie_tochki (лекции теормех)

СКОРОСТЬ ТОЧКИ

Пусть движение материальной точки задано в векторном виде и – радиус-вектор точки М, соответствующий положению точки в момент времени t. За малый промежуток времени точка получает перемещение и занимает новое положение , определяемое радиус-вектором (рис. 18), причем .

Рис. 18

Векторная величина , равная отношению приращения радиус-вектора при перемещении точки из положения М в близкое к нему положение к длине отрезка времени , за который совершается это перемещение, представляет среднюю скорость точки: .

Перемещение точки из данного положения в положение, бесконечно близкое к нему, составляет элементарное перемещение точки и определяется дифференциалом радиуса- вектора точки. Вектор элементарного перемещения точки направлен по касательной к траектории ее движения (рис. 19).

Рис. 19.

Если существует предел средней скорости точки при стремлении к нулю промежутка времени , он равен производной от радиус-вектора точки по времени и называется скоростью точки . Таким образом, скорость точки связана со средней скоростью точки предельным переходом и является векторной величиной , зависящей от времени и направленной по касательной к траектории движения точки.

Значение вектора скорости точки в начальный момент времени называют начальной скоростью точки: . Геометрическое место концов вектора скорости движущейся точки, рассматриваемого как функция параметра t, отложенных от фиксированной точки пространства (рис. 20), представляет годограф скорости точки. Абсолютная величина вектора скорости точки определяет величину скорости (рис. 21).

Рис. 20 Рис. 21

Определение скорости точки в прямоугольных координатах

Выражая радиус-вектор и скорость точки через проекции на оси прямоугольной декартовой системы координат , , легко получить выражение вектора скорости точки через ее проекции на те же неподвижные оси:

, , , .

Величина скорости точки определяется как модуль вектора :

.

Направление скорости точки определяется углами , образуемыми вектором скорости с ортами координатных осей Ox, Oy, Oz (рис. 22) или их косинусами:

, , ,

Рис. 22

Определение скорости точки в криволинейных координатах

Если известно выражение радиус-вектора движущейся точки через криволинейные координаты , то вектор скорости может быть определен дифференцированием радиус-вектора точки : . Последнее равенство с учётом выражения , может быть представлено в виде разложения вектора скорости по направлениям координатных осей криволинейной системы координат :

, . (2.5)

Вектор можно определить через проекции на оси прямоугольной декартовой системы координат:

, .

Для определения величины скорости точки удобно воспользоваться скалярным произведением:

,

где через обозначено произведение

.

В случае ортогональной системы координат и

, .

Рис. 22

Пример 1. Определение выражений скорости точки в цилиндрических координатах . Учитывая выражение и связь прямоугольных декартовых координат с цилиндрическими координатами :

, , ,

вычислим производные

,

.

Тогда составляющие , скорости точки определяются равенствами: . Окончательно выражение скорости точки в проекциях на оси цилиндрической системы координат записывается в виде: .

В частности, если движение точки происходит в плоскости , то и выражение скорости может быть выражено в полярных координатах : .

Рис. 23

Пример 2. Определение выражений скорости точки в сферических координатах . Принимая во внимание связь прямоугольных декартовых координат со сферическими координатами , , выраженную равенствами:

, , ,

вычислим производные

,

и их модули:

.

Представим вектор скорости точки разложением по направлениям координатных осей сферической системы координат . Составляющие вектора скорости определяются c использованием известных выражений производных :

.

Так как сферическая система координат является ортогональной, то величина скорости точки равна корню квадратному из суммы квадратов составляющих:

.

Определение скорости точки

при естественном способе задания движения

В случае, когда движение точки задается естественным способом, радиус-вектор движущейся точки можно рассматривать как функцию длины дуги , пройденной точкой вдоль траектории , причем закон движения известен. Следовательно, , откуда, с учетом равенства , получается выражение для скорости: .

Таким образом, вектор скорости точки оказывается направленным по касательной к траектории движения точки в ту или другую сторону в зависимости от знака . Составляющие скорости точки по двум другим осям естественной системы координат равны нулю. Если представить вектор скорости точки формальным разложением по осям естественного трехгранника : , то получаются следующие проекции: (рис. 24).

Алгебраическая величина производной от дуговой координаты точки при естественном способе задания движения точки: является алгебраической величиной скорости.

Рис. 24

Зависимость алгебраической величины скорости точки от времени может быть представлена графиком скорости (рис. 25).

Рис. 25

ускорение точки

Пусть и – векторы скорости движущейся точки в положениях и на траектории, соответствующих моментам времени и (рис. 26).

Рис. 26

Векторная величина, равня отношению приращения вектора скорости при перемещении точки М из положения М в близкое к нему положение М' к длине промежутка времени , за который совершается это перемещение, представляет собой среднее ускорение точки за этот промежуток времени : . Предел, к которому стремится среднее ускорение точки при , как известно, равен производной от вектора скорости точки по времени: .

Векторная кинематическая характеристика движения точки, равная производной от вектора скорости точки по времени или, соответственно, второй производной от радиус-вектора точки по времени , и характеризующая изменение её скорости, является ускорением точки в момент времени . Ускорение точки обозначают обычно символом или .

Определение ускорения точки в прямоугольных координатах

В случае, когда движение точки задается в прямоугольных координатах , из определения ускорения точки и разложений векторов и непосредственно следуют выражения для проекций ускорения на координатные оси:

.

Величина и направление ускорения точки определяются равенствами:

.

Рис. 27

Ускорение точки в криволинейных координатах

Для разложения вектора ускорения точки по направлениям координатных осей криволинейной системы координат представим вектор ускорения в виде суммы

. (2.6)

Умножим обе части равенства (2.6) скалярно на вектор :

. (2.7)

Обозначив и, учитывая равенства

, ,

, ,

выражение (2.7) можно представить в виде

, . (2.8)

Так как равенство (2.8) имеет место для всех , то значения коэффициентов разложения вектора ускорения могут быть определены решением системы линейных алгебраических уравнений

, , .

Если система криволинейных координат является ортогональной, то в силу равенств , , из выражения (2.8) непосредственно следует равенство

(2.9)

и величина ускорения точки оказывается равной .

Пример 1. Определение выражений ускорения точки в цилиндрических координатах . Для вычисления составляющих вектора ускорения по осям цилиндрической системы координат используются определенное ранее выражение квадрата величины скорости и соотношения (2.9), где . После проведения соответствующих вычислений получим:

, , .

Величина ускорения точки определяется из выражения

.

В случае плоского движения точки, полагая , вектор ускорения может быть определен в полярных координатах. Разложение вектора ускорения по направлениям координатных осей полярной системы координат , на плоскости представляет собой сумму , где – радиальная составляющая ускорения, – трансверсальная составляющая ускорения.

Пример 2. Выражение ускорения точки в сферических координатах . В данном случае величина скорости определяется из выражения . Так как сферическая система координат является ортогональной, то составляющие вектора ускорения с учетом соотношения (2.9), где , принимают вид:

,

, (2.10)

.