L_3_Kinematika_tochki_Sposoby_zadania_dv izhenia (лекции теормех)

КИНЕМАТИКА

Кинематика есть раздел теоретической механики, в котором изучаются движения материальных тел без учета их масс и действующих на них сил. В кинематике движущийся объект рассматривается как геометрическая точка или тело – непрерывное множество точек. Кинематика изучает движения тел с геометрической точки зрения. Существенное отличие кинематики от геометрии состоит в том, что при изучении перемещений тел в пространстве учитывается и время перемещения.

Движение тела рассматривается по отношению к некоторому конкретному телу, с которым связывается система отсчета. Понятия "покой" и "движение" являются относительными понятиями. Они определяются лишь относительно выбранной системы отсчета. Однако в кинематике используются термины "абсолютное движение", "абсолютная скорость", "абсолютное ускорение". Изучению движения тела предшествует изучение движения точки. Кроме того, в отдельных случаях все необходимые сведения о движении тела можно получить по известным кинематическим характеристикам одной его точки. Поэтому изложение раздела кинематики начинается с изложения кинематики точки.

Кинематика точки есть раздел кинематики, изучающий движения материальной точки без учёта её массы и действующих на неё сил. Раздел кинематики, изучающий движения абсолютно твёрдого тела без учёта его массы и действующих на него сил, является кинематикой твердого тела.

Число независимых параметров, однозначно определяющих положение механической системы относительно выбранной системы отсчёта, определяет число степеней свободы механической системы. Если механическая система состоит из независимых материальных точек, и положение каждой точки в пространстве определяется тремя координатами , , в прямоугольной декартовой системе координат, то степень свободы системы равна числу независимых координат . Так если координаты системы должны удовлетворять независимым уравнениям

которые позволяют выразить прямоугольные координаты через независимых параметров , то степень свободы системы оказывается равной величине .

Число степеней свободы твердого тела равно 6, так как его положение определяется тремя его точками

Рис. 3

, не лежащими на одной прямой, причём расстояния между точками остаются неизменными:

,

, , .

Число степеней свободы твердого тела с одной неподвижной точкой (рис. 4) равно 3, так как

,

и расстояния от точек , до точки и расстояние от до остаются постоянными:

,

, , .

Рис. 4 Рис. 5

Число степеней свободы твердого тела с неподвижной осью (рис. 5) равно 1, так как твёрдое тело имеет две неподвижные точки , , с координатами

, (1)

и расстояния и между точками и остаются постоянными:

, . (2)

Из равенств (1),(2) следует, что , .

1. Кинематика точки

Движение точки представляет собой переход точки из начального положения в конечное положение в зависимости от времени. Движение точки является заданным, если каждому моменту времени соответствует определённое положение точки.

Скалярные или векторные величины, определяющие те или иные свойства движения точки относительно выбранной системы отсчёта, составляют кинематические характеристики движения точки. Основными кинематическими характеристиками движения точки являются закон движения, траектория точки, скорость и ускорение точки. Закон движения представляет собой зависимость положения движущейся в пространстве точки от времени. Геометрическое место положений в пространстве движущейся точки является её траекторией. По известному закону движения точки могут быть определены скорость и ускорение точки.

Рис. 6

Кинематика призвана решать две основные задачи: прямую задачу и обратную задачу. Прямая задача кинематики состоит в определении кинематических характеристик по известному закону движения точки или тела. Обратная задача заключается в установлении закона движения точки или тела по известной информации об их кинематических характеристиках.

Для решения прямой задачи кинематики точки должно быть известно ее движение, то есть, задан закон движения точки в виде системы математических выражений, определяющая зависимость положения движущейся точки от времени.

§ 1. Способы задания движения точки

В зависимости от конкретной постановки задачи в механике используются векторный, координатный и естественный способы задания движения точки. Векторный способ задания движения точки оказывается удобным для аналитических рассуждений.

Вектор, проведённый из начала координат в точку М, является радиус-вектором точки. Если О – начало прямоугольной декартовой системы координат Oxyz, а x,у,z – проекции вектора на оси то радиус-вектор точки определяется суммой , где – орты системы координат , и x,у,z – соответствующие координаты точки. Прямоугольные декартовы координаты точки М соответствуют трем расстояниям её от трех неизменно связанных с неподвижной системой координат взаимно перпендикулярных плоскостей хОy, yOz, zOx, называемых координатными плоскостями (рис. 7). Координатные плоскости своим пересечением дают три взаимно перпендикулярных прямых Ох, Оу, Оz , определяющих координатные оси. Точка О их встречи называется началом координат. Направления осей определяются векторами и выбираются так, чтобы система прямоугольных декартовых координат была правой.

Векторный способ задания движения точки состоит в определении положения радиус-вектора движущейся точки в зависимости от времени. Закон движения точки описывается в векторном виде: . Кривая, соответствующая геометрическому месту концов переменного радиус-вектора точки, является годографом переменного радиус-вектора и совпадает с траекторией движущейся точки.

Координатный способ задания движения точки

При координатном способе задания движения точки предполагается определенная система координат , связанная с телом отсчета, и закон движения точки в координатной форме задается функциями, описывающими изменение координат во времени:

, , .

В механике для определения положения точки обычно используется прямоугольная декартова система координат, цилиндрические, сферические координаты. Все эти и другие системы координат могут быть рассмотрены как разновидности общей системы криволинейных координат.

Рис. 7

Закон движения точки в прямоугольных декартовых координатах определяется равенствами

, , .

Связь координатного способа задания движения точки в неподвижной прямоугольной декартовой системы координат Oxyz с векторным способом задания выражается равенством

.

Криволинейные координаты точки в пространстве. В общем случае упорядоченная тройка независимых параметров , однозначно определяющих положение точки М в пространстве, составляет криволинейную систему координат в пространстве. Криволинейные координаты могут быть определены как значения однозначных дифференцируемых функций переменных х,у,z: , , , если функции допускают однозначное определение переменных х,у,z через криволинейные координаты : , , .

Рис. 8

Поверхность, во всех точках которой одна из криволинейных координат или сохраняет постоянное значение, является координатной поверхностью. Если , i=1,2,3, то через каждую точку М заданной области проходят три координатные поверхности , определяемые уравнениями:

,

,

,

где -значения координат в точке М.

Линия, во всех точках которой какие-либо две криволинейные координаты сохраняют постоянное значение, представляет собой координатную линию. Через каждую точку заданной области проходят три координатные линии, определяемые уравнениями:

, ,

, ,

, .

Координатные линии образуются пересечением соответствующих координатных поверхностей: с , с и с .

Касательные к координатным линиям в точке их пересечения, проведённые в направлении возрастания соответствующей координаты, определяют координатные оси. В каждой точке М заданной области можно построить три координатные оси, направлениям которых соответствуют единичные векторы

, . (3)

Скалярные величины , i=1,2,3, принято называть коэффициентами Ламе.

Точка пространства, в которой все три криволинейные координаты равны нулю, принимается за начало координат. Тогда координатная поверхность, проходящая через начало координат, считается основной поверхностью.

Если криволинейная система координат имеет в каждой точке пространства три взаимно перпендикулярные оси, то она является ортогональной системой координат. Ортогональными криволинейными системами координат, например, являются цилиндрическая и сферическая системы координат. Условием ортогональности криволинейной системы координат является равенство нулю скалярных произведений ортов координатных осей: , что равносильно условиям

,

Цилиндрическая система координат – система координат, в которой положение точки определяется тремя величинами: , , , где –радиус, –угол (азимут), –аппликата. Цилиндрические координаты связаны с прямоугольными координатами х,у,z соотношениями

. (3)