1589805298-14c1ac33af4d6144284db1d7334189c4 (Лекции по молекулярной физике Туриков), страница 3

Вероятность совмещения нескольких независимых событий равна произведению вероят-ностей каждого из них в отдельности

.

Вычисление средних значений.

Пусть - число наблюдений значения случайной величины , - полное число наблюдений. Тогда среднее значение величины можно вычислить по формуле

,

где - вероятность того, что величина примет значение . Тогда среднее значение проекции скорости молекулы можно представить в виде

.

Получим явный вид функции распределения . Попадания скоростей молекул в интервалы , , являются независимыми событиями. Значит вероятность попадания вектора скорости сразу в три эти интервала равна

.

Из хаотичности теплового движения молекул вытекает свойство четности функции распределения

, или .

Удобно ввести переменные , , . Тогда для функции распределения по скоростям справедливы соотношения

. (2)

Рассмотрим такие изменения , которые удовлетворяют соотношениям , . Тогда из (2) получим

(введем такое обозначение).

Решая это дифференциальное уравнение, находим

. (3)

Для функции распределения выполняется условие нормировки

,

означающее, что попадание в интервал от до является достоверным событием. Подставляя в это условие выражение (3), находим константу

.

Константу можно найти с помощью равенства

.

Проводя интегрирование, находим . Подставляя и в выражение (3), получаем распределение Максвелла по проекции скорости молекул на ось

.

С помощью соотношения (2) легко получить функцию распределения по всем проекциям скорости молекул

.

Если газ находится во внешнем потенциальном поле то можно рассматривать более общее распределение по полной энергии молекул

,

называемое распределением Максвелла – Больцмана.

Рассмотрим распределение молекул по модулю скорости. Вероятность найти молекулу в пространстве скоростей в элементе объема в окрестности скорости

.

Для нахождения вероятности того, что молекула имеет модуль скорости в интервале от до мы должны в качестве взять в качестве элементарного объема шаровой слой радиуса и толщиной . В этом случае и функция распределения по модулю скорости принимает вид

.

Эта функция имеет максимум при . Величина называется наивероятнейшей скоростью молекул газа (рис. 2). При этом .

Экспериментальные подтверждения молекулярно-кинетической теории. Броуновское движение.

Опыт Штерна.

В

этом опыте (1920 г.) экспериментально проверялось распределение Максвелла для молекул идеального газа. Установка представляла собой два жестко соединенных коаксиальных цилиндра на оси которых располагалась платиновая нить, покрытая серебром (рис. 1). Нить нагре-валась до температуры 1200⁰С проходящим через нее электрическим током. Газ из молекул серебра из малого цилиндра вытекал через узкое отверстие. Молекулы серебра оседали на внутренней поверхности большого цилиндра и по их числу можно было определить их распределение по скоростям. Это можно сделать следую-щим образом. При неподвижных цилиндрах молекулы попадают в точку . В случае вращения с угловой скоростью молекула, движущаяся со скоростью , попадает в точку , отстоящую от на расстоянии

, откуда , .

Число молекул со скоростями от до , испускаемых нитью в 1 секунду

.

Проведенные Штерном измерения толщины слоя осевшего серебра с большой точностью соответствовали этому выражению. Значения скоростей изменялись примерно от 540 м/сек до 640 м/сек, а 580 м/сек.

Броуновское движение.

Одним из убедительных доказательств молекулярно-кинетической теории является так называемое броуновское движение, открытое в 1827 г. английским ботаником Броуном.

Он обнаружил, что при рассмотрении под микроскопом частицы, взвешенные в жидкости, находятся в непрерывном беспорядочном движении. Оно возникает вследствие ударов со стороны движущихся молекул жидкости. На основе такого представления Эйнштейном и Смолуховским была построена теория броуновского движения (1906 г.). Ее основные положения состоят в следующем. Движение крупной (по сравнению с размером молекул) частицы массы в жидкости можно описать в проекции на ось с помощью уравнения

, (1)

где первое слагаемое в правой части представляет собой силу вязкого трения по формуле Стокса, а есть сила случайных толчков со стороны молекул жидкости. Назовем подвижностью частицы величину . После несложных преобразований можно привести уравнение (1) к следующему виду

. (2)

Усредним уравнение (2) по всем броуновским частицам. В силу хаотичности движения молекул . Так как броуновские частицы находятся в тепловом равновесии с моле-кулами жидкости, то . При таких предположениях после усреднения получим

.

Решение этого уравнения имеет вид и называется формулой Эйнштейна. Она была экспериментально подтверждена в опытах Перрена в 1908 г.

Лекция 5. Явления переноса и столкновения молекул в газе.

Переход от неравновесных состояний к равновесным происходит благодаря явлениям переноса. При этом происходит выравнивание значений термодинамических параметров. В зависимости от вида переносимых физических величин можно выделить три явления переноса.

1. Диффузия.

При диффузии происходит перенос массы и выравнивание плотности. Пусть плотность газа меняется вдоль оси . Опытным путем был получен закон диффузии

, (1)

где - масса вещества, переносимая через площадку , перпендикулярную оси , за время . Коэффициент называется коэффициентом диффузии, 1 м²/сек. Знак “-” означает, что перенос массы происходит в направлении уменьшения плотности. Величина является проекцией градиента плотности на ось . В дальнейшем мы будем называть ее просто градиентом плотности.

2. Теплопроводность.

В этом процессе происходит перенос тепла и выравнивание температуры. При изменении температуры вдоль оси закон теплопроводности имеет вид

,

где - количество тепла, переносимого через площадку , перпендикулярную оси , за время . Коэффициент называется коэффициентом теплопроводности, 1 Дж/мּсекּград, - градиент температуры.

3. Внутреннее трение.

Происходит перенос импульса между слоями газа (жидкости), движущимися друг относи-тельно друга. При этом между слоями возникает сила вязкого трения

,

где ось перпендикулярна скорости течения газа , - площадка слоя газа с коорди-натой , - коэффициент вязкости, 1 кг/мּсек = 1 г/смּсек = 1 Пуаз, - градиент скорости.

Процессы переноса в газе происходят в результате столкновений молекул. Рассмотрим основные величины, используемые для описания столкновений.

Средняя длина свободного пробега молекул – среднее расстояние между двумя последовательными столкновениями.

Эффективное сечение столкновений.

Е

сли молекула с радиусом налетает на другую такую же молекулу, то они столкнутся, если расстояние между их центрами не превышает (рис. 1). Площадь заштрихованной окружности называется эффективным сечением столкновений.

Если центр налетающей молекулы попадает в заштрихованную площадку (прицельная площадь) , то молекулы сталкиваются. Эффективное сечение столкновений имеет также вероятностный смысл. Можно показать, что величина численно равна вероятности столкновения молекулы в единице объема.

Число столкновений молекулы за 1секунду

. (2)

Это выражение можно получить, рассмотрев цилиндрический объем с площадью основания и высотой (рис. 2). Здесь - средняя скорость молекул. Очевидно, молекула в левом основании цилиндра столкнется со всеми молекулами внутри выделенного объема. На самом деле, после каждого столкновения направление движения выделенной молекулы изменяется и цилиндр становится лома-ным. Однако, формула (2) при этом не изменяется.

С помощью (2) можно получить выражение для длины свободного пробега . Очевидно,

.

При получении (1) мы считали молекулы внутри выделенного цилиндра неподвижными. Можно уточнить выражение для , если учесть относительное движение молекул. Легко показать, что средняя скорость относительного движения . Отсюда

. (3)

Приведем характерные значения величин и . Для воздуха при 0⁰С и = 1 атм см^-3 , см², см.

Как было отмечено выше, явления переноса в газе происходят в результате столкновений молекул. Поэтому коэффициенты переноса должны зависеть от длины свободного пробега и средней скорости молекул. Рассмотрим эту зависимость для процесса диффузии.

Как и в законе диффузии (1) будем считать, что плотность газа меняется вдоль оси .

Рассмотрим малую площадку , перпендикулярную этой оси . Если бы все молекулы двигались слева направо со скоростью , то через за время проходила бы масса газа . Пусть - плотности газа соответственно слева и справа от площадки на расстоянии . Тогда в силу того, что в этих промежутках нет столкновений, слева направо через за время проходит масса

.