1589805298-14c1ac33af4d6144284db1d7334189c4 (Лекции по молекулярной физике Туриков), страница 2

Работа газа в квазистатическом процессе с конечным изменением параметров от начального состояния 1 до конечного состояния 2 может быть найдена путем суммирования элементар-ных работ (1), что приводит к выражению

.

Т

епловые процессы удобно изображать графически на плоскости каких-либо двух термоди-намических переменных, например, (рис. 2). При этом работа равна площади заштри-хованной фигуры под кривой, описывающей данный процесс. В круговом процессе система возвращается в исходное состояние (рис. 2). В этом случае работа по пути 1 – 2 положительна, а по пути 2 – 1 отрицательна. Полная работа равна площади заштрихованной фигуры внутри замкнутого контура на плоскости , описывающего круговой процесс.

Если тело не получает энергию извне, то работа при его расширении совершается за счет его внутренней энергии.

Внутренняя энергия тела - сумма всех видов энергии, содержащихся в теле, за исключением энергии, которой тело обладает при взаимодействии с другими телами.

В данном курсе лекций мы будем пользоваться более простым определением.

Внутренняя энергия тела равна сумме кинетической энергии теплового движения молекул вещества и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом.

Такое определение справедливо, если можно пренебречь другими видами энергии, содержащимися в теле (магнитной энергии, ядерной энергии, энергии излучения т.д.)

В тепловых процессах, в отличие от механических, имеет место еще один вид энергии.

Количество тепла - энергия, передаваемая от одного тела к другому без совершения работы.

Количество тепла, или теплота, передается, например, от более нагретого тела к менее нагретому при их контакте друг с другом. Считается, что , если тело получает тепло и , если оно отдает тепло.

Все приведенные выше величины, , и , имеют размерность энергии. Для количества тепла часто используется внесистемная единица калория. Она равна количеству тепла, необходимому для нагревания 1 г воды на 1⁰C в интервале температур от 19,5⁰С до 20,5⁰С. 1 калория = 4,187 Джоуля (механический эквивалент теплоты). Эти три вида энергии связаны между собой следующим законом сохранения.

Первое начало термодинамики

. (2)

Здесь под понимается работа, совершаемая телом. Бесконечно малое изменение коли-чества тепла , также как и , не всегда является полным дифференциалом. Согласно определению внутренняя энергия есть однозначная функция состояния термодинами-ческой системы. Поэтому ее бесконечно малое изменение является полным дифференциа-лом. В круговом процессе , так как . При этом (см. рис. 2). Значения и зависят от вида теплового процесса.

Первое начало термодинамики (2) является универсальным законом природы. Оно справе-дливо для любых тепловых процессов и любых агрегатных состояний вещества. Ведем еще оду важную физическую величину, необходимую для количественного описания тепловых процессов.

Теплоемкость тела

.

Теплоемкость тела зависит от свойств его вещества, от его массы и от вида теплового процесса с помощью которого ему передается тепло. Теплоемкость 1 кг вещества называется его удельной теплоемкостью ([c] = 1 Дж/кгּград), а теплоемкость 1 моля вещества – молярной теплоемкостью ([C] = 1 Дж/мольּград). В зависимости от вида теплового процесса выделяют следующие значения теплоемкости.

Теплоемкость при постоянном объеме

.

Теплоемкость при постоянном давлении

.

Здесь введена новая термодинамическая величина , называемая энтальпией

.

В тепловых процессах при постоянном давлении . Поэтому ее еще называют тепловой функцией. Энтальпия так же как и внутренняя энергия является однозначной функцией состояния термодинамической системы.

Из первого начала термодинамики следует, что всегда . Рассмотрим значения этих величин для идеального газа. В этом случае внутренняя энергия равна полной кинетической энергии теплового движения молекул. Тогда для одного моля идеального газа

.

Отсюда получаем выражения для молярных теплоемкостей

, , .

Последнее соотношение называется уравнением Майера. Оно справедливо только в случае идеального газа. В дальнейшем нам понадобится еще одна важная величина

,

называемая показателем адиабаты. Для идеального газа она, очевидно, равна

.

Адиабатический процесс ( ).

Тепловой процесс с телом, в котором оно не обменивается теплом с другими телами, назы-вается адиабатическим. Из первого начала термодинамики следует, что в таком процессе . Для идеального газа , поэтому при адиабатическом расширении идеаль-ный газ охлаждается, а при адиабатическом сжатии – нагревается.

Для одного моля идеального газа

, или .

Производя интегрирование, получаем

, .

Возводя последнее выражение в степень и используя уравнение Майера, приходим к уравнению

.

Это так называемое уравнение Пуассона для адиабатического процесса в идеальном газе. С помощью уравнения Клапейрона - Менделеева его можно представить в следующих формах

, или .

Из уравнения Пуассона видно, что если из одного и того же начального состояния с идеальным газом производится либо изотермический процесс (изотерма на рис. 4), либо адиабатический процесс (адиабата), то адиабата лежит ниже изотермы.

Типичным примером адиабатического процесса в идеальном газе является звуковая волна, которую мы рассмотрели в курсе механики. В этом случае успевает установиться локальное равновесие, но перенос тепла между областями с разным давление произойти не успевает.

Все рассмотренные выше процессы происходят при постоянной теплоемкости. Можно ввести еще один тип процессов в идеальном газе.

Политропический процесс ( ).

Аналогично случаю адиабатического процесса с помощью первого начала термодинамики для такого процесса можно получить уравнение политропы

, где - показатель политропы.

Для адиабатического процесса , , для изотермического - , , для изохорического - , , для изобарического - , .

Лекция 4. Распределение молекул идеального газа по координатам и скоростям.

1. Идеальный газ во внешнем поле.

Р

ассмотрим малый элемент объема идеального газа, заключенный между двумя площадками , перпенди-кулярными потенциальной внешней силе и отстоя-щими друг от друга на расстоянии (рис. 1). Ось направлена противоположно силе . Давления газа на верхней и нижней площадках равны соответственно и . Тогда условие равновесия выделенного объема можно представить в виде

, или ,

где - потенциальная энергия молекулы газа. Будем считать, что температура газа постоянна во всем объеме. Из уравнения Клапейрона (локальное равновесие) получим

, .

Интегрируя это уравнение, получаем формулу Больцмана для распределения молекул идеального газа по координатам во внешнем потенциальном поле

.

Здесь - концентрация молекул газа в точке , в которой . Аналогично для давления

. В поле тяжести .

Последнее выражение носит название барометрической формулы. На ней основано устрой-ство альтиметра – прибора для определения высоты над поверхностью Земли.

2. Распределение молекул по скоростям.

Мы уже ввели понятие средней квадратичной скорости молекул . Но молекулы в газе движутся с разными скоростями и важно определить какая часть молекул имеет скорости в определенном интервале значений. Рассмотрим интервал значений проекции скорости между и . Число молекул в единице объема с такими значениями можно представить в виде

. (1)

Функция в этом выражении называется функцией распределения по проекции скорости .

Вероятностный смысл можно пояснить, если переписать выражение (1) по другому

.

Таким образом, вероятность того, что проекция скорости молекул лежит в интервале от до равна .

Понятие вероятности вводится при изучении случайных событий различной природы. Дадим простейшее определение вероятности события:

,

где - число опытов, приводящих к реализации данного события, - общее число опытов. Например, при многократном бросании монеты вероятности выпадения ее каждой стороны , . Сумма этих вероятностей .Событие, вероятность которого равна единице называется достоверным (оно выполняется всегда). Одна из сторон монеты обязательно выпадет. Этот простой пример отражает одну из основных теорем теории вероятностей.

Теорема сложения вероятностей.

Если - вероятности исключающих друг друга событий, то вероятность того, что осуществится какое-нибудь одно из них

.

Имеет место также теорема для вероятности независимых событий. Например, бросание монеты и следующая за этим попытка сдать экзамен.

Теорема умножения вероятностей.