Методические указания к выполнению домашней работы №1

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Институт пути, строительства и сооружений

Кафедра «Начертательная геометрия и черчение»

Н.П. ГОРБАЧЕВА

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний для студентов ИПСС

Москва - 2008

УДК 513

Г 67

Горбачева Нина Петровна. Начертательная геометрия. - М.: МИИТ, 2008.- 21с.

Настоящие методические указания составлены с целью оказания помощи студентам в процессе выполнения домашней работы №1 по начертательной геометрии по теме «Точка, прямая, плоскость».

©Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ), 2008

3

ВВЕДЕНИЕ

Настоящие методические указания составлены с целью оказания помощи студентам в процессе выполнения домашней работы по начертательной геометрии № 1.

Работа №1 – «Взаимное расположение точки, прямой и плоскости», содержит метрические, позиционные и некоторые конструктивные задачи, связанные с построением проекций геометрических фигур, отвечающих определенным условиям.

В этой работе студент выполняет три задачи:

1) построение плоской фигуры по заданным условиям;

2) построение проекций линии пересечения двух плоскостей и определение относительной видимости;

3) определение натуральной величины расстояния от точки до плоскости.

Для выполнения указанных задач необходимо знание следующих разделов курса: сущность метода ортогонального проецирования и понятия о координатах точки; основные свойства параллельного проецирования; различные положения прямой относительно плоскостей проекций; определение длины отрезка прямой;

4

теорема о проецировании прямого угла; плоскость и ее главные линии; пересекающиеся плоскости; теорема о перпендикуляре к плоскости.

Работа выполняется в карандаше на чертежной бумаге формата А3 (297×420). Пример оформления работы приведен на рис.12. В левой половине листа выполняются задачи №1 и 3, на правой половине – задача №2. В правом нижнем углу формата размещается основная надпись (размер 134×40) и таблица исходных данных.

ЗАДАЧА№1

Построить проекции равнобедренного прямоугольного треугольника АВС, если известно, что катет ВС принадлежит прямой KL.

Исходными данными задачи является точка А – вершина треугольника и прямая KL, на которой расположен его катет ВС (см рис.1). Прямая KL – линия уровня (параллельна плоскости проекций П₁или П₂).

Рис. 1 Рис. 2

5

Построение точки А на эпюре выполняется по заданным координатам.

Известно, что каждая проекция точки определяется двумя координатами: горизонтальная проекция координатами X и Y – А₁(X,Y), фронтальная – А₂(X,Z). Поэтому на оси абсцисс (OX) от начала координат O откладывается отрезок, равный X_А. Затем, через полученную точку перпендикулярно к оси OX проводится линия проекционной связи, на которой откладываются отрезки, равные Y_A и Z_A (с учетом знака координат). Построение проекций прямой KL выполняется по двум ее точкам K и L, координаты которых заданы.

Так как эти точки прямой находятся на одном расстоянии от плоскости проекций П₁ или П₂, то справедливы равенства Z_K=Z_L или Y_K=Y_L. Из этого следует, что заданная прямая KL – прямая уровня, т.е. либо она горизонтальная (при Z_K=Z_L), либо фронтальная (при Y_K=Y_L).

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

1. Из точки А опускают перпендикуляр на прямую KL (так как искомый треугольник прямоугольный, а вершина А задана) рис.2.

2. Отмечают основание перпендикуляра – точку В.

6

3. Определяют натуральную величину катета АВ треугольника АВС.

4.На прямой KL от точки В в любую сторону откладывают натуральную величину катета АВ (так как в равнобедренном прямоугольном треугольнике оба катета равны). Получают точку С. Задача может иметь два решения, так как на прямой KL можно найти вершину С^′, симметричную С относительно точки В.

5. Соединяют точку А с точкой С. Треугольник АВС – искомый.

Решение задачи №1 на эпюре приведено на рис.3. С левой стороны исходные данные задачи.

Рис. 3

7

1. Из точки А опускают перпендикуляр на прямую KL. Так как заданная прямая параллельна плоскости П₂, прямой угол между перпендикуляром и прямой KL проецируется в натуральную величину на ту же плоскость. (На основании теоремы о проецировании прямого угла). При решении задачи вначале строят фронтальную проекцию перпендикуляра.

2. Отмечают фронтальную проекцию В₂ точки пересечения перпендикуляра с прямой KL. А₂В₂ – фронтальная проекция перпендикуляра.

3. В проекционной связи на K₁L₁определяют горизонтальную проекцию В₁ – основания перпендикуляра.

4. Соединив А₁ с В₁ получают горизонтальную проекцию перпендикуляра А₁В₁. Отрезки А₁В₁ и А₂В₂ – проекции катета АВ треугольника АВС.

5. Для построения второго катета ВС (ВС=АВ) необходимо знать действительную величину отрезка АВ (катет АВ представляет собой прямую общего положения, которая не проецируется в натуральную величину ни на одну из плоскостей проекций). Для определения ее натуральной величины использован способ прямоугольного треугольника. Так, на эпюре натуральная величина АВ определена как

8

гипотенуза прямоугольного треугольника А₁В₁А₀, катетами которого являются отрезки А₁В₁ и ΔZ как - разность координат Z_A и Z_B.

6. Так как второй катет по условию задачи расположен на фронтали, то от точки В₂ на фронтальной проекции K₂L₂ прямой KL в любую сторону откладывают величину отрезка В₁А₀ и отмечают точку С₂.

7. В проекционной связи на K₁L₁ находят точку С₁.

8. Соединив С₂ с А₂ и С₁ с А₁ получают проекции искомого треугольника.

ЗАДАЧА№2

Построить линию пересечения двух плоскостей и определить их относительную видимость.

Линией пересечения двух плоскостей является прямая линия, для построения которой необходимо знать: либо две точки, общие для этих плоскостей, либо одну точку и направление линии пересечения.

Сначала рассмотрим частные случаи пересечения плоскостей.

1. Одна из заданных плоскостей – плоскость проецирующая.

9

Рис.4 Рис. 5

На рис.4 построена линия пересечения плоскости общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми α(a ∩ b), с фронтальнопроецирующей плоскостью β₂(β _┴ П₂).

Линия пересечения данных плоскостей определяется двумя точками 1 и 2, в которых прямые a и b плоскости α пересекают проецирующую плоскость β.

Сначала строится фронтальная проекция линии пересечения 1₂ – 2₂, а затем в проекционной связи ее горизонтальная проекция 1₁ – 2₁. Следует заметить, что фронтальная проекция линии

10

пересечения заданных плоскостей 1₂ – 2₂ совпадает с фронтальным следом проецирующей плоскости β.

2. Одна из заданных плоскостей - плоскость уровня.

В этом случае для построения линии пересечения плоскостей достаточно знать лишь одну точку, общую обеим плоскостям, и направление линии пересечения.

Так на рис.5 плоскость общего положения α(h∩n) пересекается с горизонтальной плоскостью β по горизонтальной линии, направление которой известно. Поэтому горизонтальная проекция линии пересечения пройдет через общую обеим плоскостям точку 1₁ и параллельно горизонтальной проекции горизонтали h₁.

Общий прием построения линии пересечения двух плоскостей приведен на рис.6.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

1. Плоскости α и β пересекают вспомогательной плоскостью γ.

2. Строят линии пересечения вспомогательной плоскости с заданными α и β. Это линии 1-2 и 3-4.

3. Отмечают точку пересечения построенных линий 1-2 ∩ 3-4 = М.

11

Рис.6

Для построения второй точки N алгоритм решения повторяют.

Пример. Построить проекции линии пересечения двух плоскостей общего положения.

Рис.7

12

Как видно из рис.7 одна из плоскостей α задана треугольником α(АВС), а вторая β – параллельными прямыми (m ║ n). Для решения задачи обе плоскости пересечены вспомогательными проецирующими плоскостями γ₂ и δ₂.

(В качестве вспомогательных плоскостей можно было провести плоскости уровня). Плоскость γ пересекает плоскость α(АВС) по линии 1-2, а плоскость β(m ║ n) - по линии 3-4. В пересечении этих линий определена точка K, общая для двух плоскостей.

Аналогично пересекая заданные плоскости второй вспомогательной плоскостью δ, можно найти вторую точку L общую обеим плоскостям.

Следует заметить, что если вспомогательные плоскости γ и δ параллельны, то и линия пересечения 1-2 параллельна 5-6, а линия 3-4 параллельна линии 7-8.

Прямая, проходящая через точки K и L, определяет искомую линию пересечения плоскостей α и β.

В работе №1 студенты строят линию пересечения двух плоскостей заданных треугольниками α(DEF) и β(RMN), координаты

13

вершин которых заданы в таблице исходных данных.

Решение задачи можно упростить (рис.8) если вспомогательные проецирующие плоскости провести через прямые, задающие плоскость.

Рис. 8

14

Так точка K этой линии определена с помощью фронтальнопроецирущей плоскости γ₂, проведенной через сторону RN треугольника MNR. Именно линия RN является линией пересечения плоскости треугольника β(RMN) с вспомогательной плоскостью γ. Та же плоскость пересекает треугольник α(DEF) по линии 1-2.

Точка K, общая для трех плоскостей (двух заданных α и β и вспомогательной γ), находится в пересечении прямых 1-2 и RN.

Следует отметить, что если вспомогательная плоскость γ фронтальнопроецирущая, то сначала определяется горизонтальная проекция точки K₁, т.е. K₁ = 1₁-2₁∩R₁N₁, а затем по линии проекционной связи находится K₂ – фронтальная проекция точки K.

Аналогично, заключая сторону DF в горизонтальнопроецирующую плоскость δ₁, находится точка L. Прямая KL – линия пересечения заданных плоскостей.

Для определения видимости этих треугольников достаточно установить относительное расположение одной из сторон одного треугольника относительно стороны другого треугольника. Таким образом, вопрос видимости плоскостей сводится к определению видимости двух скрещивающихся прямых.

15

Например, определим видимость стороны DE треугольника DEF относительно стороны MN треугольника RMN на фронтальной плоскости проекции (см рис.8). Для этого проведем луч зрения s перпендикулярно П₂ через точку пересечения фронтальных проекций D₂E₂ и M₂N₂. В пересечении D₂E₂ и M₂N₂ расположены две конкурирующие по видимости точки (5₂ и 6₂). Точка 5 принадлежит стороне MN, а точка 6 – стороне DE. По горизонтальной проекции устанавливаем, что луч зрения сначала встретит D₁E₁ в точке 6₁, а затем M₁N₁ в точке 5₁. Следовательно, фронтальная проекция D₂E₂ – видима.