7b Оператор инерции (Е.И. Кугушев - Лекции)

7b-3

Лекция 7b

Оператор инерции.

Пусть движение твердого тела ограничено тем, что его точка неподвижна в абсолютном пространстве. А в остальном тело свободно. Такая механическая система называется твердым телом с неподвижной точкой . По формуле Эйлера скорости точек твердого тела имеют вид

где - мгновенная угловая скорость твердого тела. Рассмотрим, как выглядит кинетический момент.

Видно, что угловая скорость входит линейным образом, т.е.

(*)

где некая матрица .

Определение Отображение (*) из пространства угловых скоростей в пространство кинетических моментов называется оператором инерции.

Матрица называется матрицей инерции. Она зависит только от расположения точек тела и их масс. Поэтому в абсолютной системе координат она зависит от времени, а в системе, жестко связанной с твердым телом она постоянна.

Утверждение. (Свойства оператора инерции) Если твердое тело невырождено, то оператор инерции

а) Невырожденный (т.е. ),

б) Симметричный (т.е. ),

в) Положительно определенный (т.е. при ),

г) Кинетическая энергия твердого тела имеет вид .

Доказательство. Сделав циклическую перестановку векторов в смешанном произведении, получаем

(**)

Поэтому

Т.е. мы доказали г). Если , и твердое тело невырождено, то у него есть точки, не лежащие на мгновенной оси вращения (т.е. их радиус-векторы неколлинеарны ). Они имеют ненулевую скорость, и, значит, , и более того, . Значит мы доказали б). Отсюда же и из г) следует, что . Значит оператор инерции невырожден т.е. , Значит мы доказали а).

Докажем б). Определим матрицу следующим образом

(***)

Тогда . Т.е. оператор инерции системы точек равен сумме операторов инерции для каждой точки.

В координатной записи . Из (***) несложно убедиться, что

Это симметрическая матрица. Следовательно б) доказано.

Утверждение доказано.

Замечание. Фактически мы использовали только то, что точка неподвижна в данный момент времени. Поэтому все сказанное выше годится и для свободного твердого тела, у которого в данный момент времени точка неподвижна.

Поскольку кинетическая энергия не зависит от выбора системы координат (неподвижной и с началом в точке ), Матрица оператора инерции меняется при замене координат тензорным образом. Поэтому иногда оператор инерции называют тензором инерции, а матрицу - матрицей тензора инерции.

Условия статического равновесия твердого тела.

Утверждение. Рассмотрим теперь свободное невырожденное твердое тело. Пусть некая его точка в данный момент неподвижна. Кинетичекий момент относительно равен нулю тогда и только тогда, когда твердое тело (в данный момент) неподвижно, т.е. .

Доказательство. Для невырожденного твердого тела доказательство очевидно вытекает из невырожденности оператора инерции. Утверждение верно и для вырожденного тела. Пусть , тогда кинетическая энергия . Значит, скорость каждой точки твердого тела равна нулю, и, значит можно считать, что . Пусть теперь . Тогда кинетический момент .

Утверждение. Пусть к точкам твердого тела приложены некие вектора . И пусть сумма всех векторов равна нулю . Тогда суммарный момент всех векторов не зависит от точки относительно которой он вычисляется.

Доказательство. Пусть - некая точка и . Пусть - вектора идущие из точки к точкам твердого тела. Тогда и

Следствие. Если суммарный импульс точек твердого тела равен нулю, кинетический момент (т.е. момент импульса) можно вычислять относительно любой точки. Он от нее не зависит.

Следствие- Определение. Пусть к точкам твердого тела приложены силы (говорят, что приложена система сил). И пусть сумма всех сил равна нулю . Тогда суммарный момент всех сил не зависит от точки относительно которой он вычисляется. В этом случае говорят, что к твердому телу приложен момент .

Утверждение. (Условия статического равновесия твердого тела) Пусть к твердому телу приложены внешние силы и моменты. И пусть в начальный момент твердое тело было неподвижно. Тогда в последующие моменты времени тело будет неподвижно (будет находится в состоянии статического равновесия) тогда и только тогда, когда равны нулю сумма всех внешних сил, приложенных к его точкам и суммарный момент этих сил и моментов.

Доказательство. а) необходимость. Если твердое тело находится в равновесии, то его импульс и кинетический момент равны нулю. Утверждение вытекает из теоремы об изменении импульса и кинетического момента системы точек.

б) достаточность. Если суммарная сила и момент равны нулю, то из теоремы об изменении импульса и кинетического момента системы точек следует, что импульс и кинетический момент постоянны. Поскольку в начальный момент они были равны нулю, то они будут равны нулю и все время. Из равенства нулю импульса следует, что центр масс тела неподвижен. Неподвижность тела вытекает из первого утверждения раздела.

Формулы Кёнига.

Кёнигова система координат строится для заданной системы материальных точек. Она имеет начало в центре тяжести, а ее оси параллельны осям абсолютной системы координат. Начало кёниговой системы двигается вместе с центром тяжести.

Другое определение. Осями Кёнига называются оси неизменного напрвления, проходящие через центр масс системы точек.

Задача. Сформулируйте условия, достаточные для того, чтобы Кёнигова система координат была инерциальной.

Ответ. Достаточно равномерного (т.е. с постоянной скоростью) движения центра масс системы. Например, для свободной системы точек – сумма внешних сил равна нулю.

Задача. Чему равен импульс системы посчитанный относительно осей Кёнига.

Ответ. Нулю, т.к. центр тяжести в этой системе неподвижен.

Задача. Пусть - радиус векторы точек в Кёниговой системе. Проверить равенство .

Решение. Имеем , поэтому

Решение закончено.

Пусть и - кинетический момент и кинетическая энергия, посчитанные относительно осей Кёнига (т.е. в Кёниговой системе координат). Тогда

(1)

(2)

Это первая и вторая формулы Кёнига.

Замечание. (Лемма)

(*)

т.е. кинетический момент посчитанный относительно центра тяжести один и тот же, если брать абсолютные или относительные скорости.

Доказательство. Положим . Тогда

Формула (*) следствие равенства . Доказательство леммы закончено.

Доказательство формул Кёнига.

(1)

Второе и третье слагаемое здесь равны нулю, т.к. . Доказательство первой формулы Кёнига завершено.

(2)

Второе слагаемое здесь равно нулю, т.к.

Доказательство второй формулы Кёнига завершено.

Теорема Кенига об изменении кинетического момента системы свободных точек.

Скорость изменения кинетического момента в осях Кенига равна сумме моментов внешних сил относительно центра масс системы (т.е. относительно начала Кениговой системы координат).

Доказательство. По теореме об изменении кинетического момента системы свободных точек имеем

Подставим сюда первую формулу Кенига (1) и .

По теореме об изменении импульса имеем

Откуда и вытекает требуемое.

Теорема Кенига об изменении кинетической энергии системы свободных точек.

Скорость изменения кинетической энергии в осях Кенига равна сумме мощностей всех сил относительно Кениговой системы координат.

Доказательство. По теореме об изменении кинетической энергии системы свободных точек имеем

Подставим сюда вторую формулу Кенига (2) и .

По теореме об изменении импульса имеем

Откуда и вытекает требуемое.

Вопросы к материалу.

• Твердое тело с неподвижной точкой.

• Оператор инерции и его свойства.

• Условия статического равновесия твердого тела.

• Кёнигова система координат. Оси Кёнига.

• Формулы Кёнига.

• Теорема Кенига об изменении кинетического момента системы свободных точек

• Теорема Кенига об изменении кинетической энергии системы свободных точек.