4 Плоскопараллельное движение (Е.И. Кугушев - Лекции)

4-4

Лекция 4

(5) Плоскопараллельное движение. Это движение, при котором в любой момент времени скорости всех точек твердого тела параллельны некоторой неподвижной плоскости. Например, плоское твердое тело движется в неподвижной плоскости.

Рассмотрим сечение тела (а лучше, связанной с ним системы отсчета) плоскостью , вдоль которой оно движется. Для любых двух точек векторы , и параллельны . Отсюда (из теоремы Эйлера) следует, что .

Задача. Доказать это. (Указание – надо рассмотреть скорости трех точек не лежащих на одной прямой).

Таким образом, в случае плоского движения вектор мгновенной угловой скорости полностью задается своей проекцией на “положительную” нормаль к .

Из утверждения, что любое движение твердого тела (в данный момент) либо мгновенно поступательное, либо мгновенно винтовое, следует, что в случае при плоскопараллельном движении в твердом теле (или в “его продолжении”) существует точка, скорость которой равна нулю (точка пересечения винтовой оси с плоскостью ). Она носит название мгновенный центр скоростей.

Пусть . Тогда скорость любой точки тела имеет вид

,

Если известны скорости двух точек, то центр скоростей лежит на пересечении перпендикуляров к скоростям в этих точках.

Мгновенный центр скоростей может менять свое положение с течением времени.

Примеры.

а) Скольжение отрезка с концами на осях координат. Центр скоростей описывает окружность.

б) Качение диска без проскальзывания по прямой. Центр скоростей совпадает с точкой касания диска и прямой.

Качение без проскальзывания. Говорят, что одно твердое тело катится без проскальзывания по другому, если скорости точек контакта тел совпадают.

В частности, если одно из тел неподвижно, то скорости точек контакта равны нулю. Если точек контакта, по крайней мере, две или точка контакта одна, но движение плоскопараллельное, то легко найти направление угловой скорости движения и даже винтовую ось. В первом винтовая ось совпадает с прямой соединяющей точки контакта, а угловая скорость параллельна ей. Во втором случае винтовая ось проходит через точку контакта и ортогональна плоскости движения, а угловая скорость параллельна ей.

Распределение ускорений при движении твердого тела.

Определение. Вектор называется мгновенным угловым ускорением твердого тела (или просто угловым ускорением).

Теорема. (Ривальс) Для любых двух точек твердого тела

Доказательство. По формуле Эйлера . Дифференцирую ее по времени получаем

(*)

Но , поэтому . Подставив это в (*) получаем искомое соотношение. Доказательство закончено.

Второе слагаемое в формуле Ривальса называют вращательным ускорением точки тела.

Третье слагаемое в формуле Ривальса называют осестремительным ускорением точки тела.

Отсюда получаем, что осестремительное ускорение

1. лежит в плоскости векторов и .

2. Ортогонально .

3. Если и лежит на винтовой оси, то осестремительное ускорение направлено к винтовой оси.

Задача. Доказать Утверждение 3.

Пример. В плоскопараллельном движении вектор ортогонален плоскости вдоль которой происходит движение, а осестремительное ускорение равно (тело плоское).

Задача. Найти ускорение точки касания диска катящегося без проскальзывания по прямой.

Ответ. и направлено к центру диска.

Теорема о сложении скоростей.

Пусть - неподвижная, а - подвижная системы отсчета. Положим . Возьмем движущуюся как-то точку и радиус-векторы и обозначим и . Так, что . Пусть

,

Определение.

1. - абсолютная скорость точки ( ).

2. - относительная скорость точки ( ). Это скорость, которую видит наблюдатель, сидящий в подвижной системе координат.

3. Скорость точки подвижной системы координат, совпадающей в данный момент с точкой , называется переносной скоростью точки ( ).

Теорема (О сложении скоростей).

Доказательство.

Лемма о переносной скорости.

Доказательство. Рассмотрим подвижную систему координат как движущееся твердое тело. Пусть - точка подвижной системы, совпадающая в данный момент с . Тогда . По формуле Эйлера . Доказателство леммы завершено.

Доказанная лемма завершает и доказательство теоремы.

Вопросы к материалу.

• Плоскопараллельное движение твердого тела.

• Мгновенный центр скоростей при плоскопараллельном движении.

• Качение без проскальзывания.

• Распределение ускорений при движении твердого тела. Формула Ривальса.

• Вращательное и осестремительное ускорения.

• Абсолютная, относительная, переносная скорости точки.

• Теорема о сложении скоростей.