3 Кинематика твердого тела (Е.И. Кугушев - Лекции)

3-2

Лекция 3.

Кинематика твердого тела.

Определение. Твердое тело – это система точек в таких, что при движении их попарные расстояния не меняются.

За движением твердого тела удобно следить, связав с ним систему координат. Это можно корректно сделать, если в теле есть три не коллинеарные точки. Такое твердое тело будем называть невырожденным

В невырожденном случае движение твердого тела с точки зрения кинематики отождествляется с однопараметрическим семейством изометрий пространства . Эти изометрии сохраняют ориентацию.

Математики часто называют изометрии, сохраняющие ориентацию, - движениями. Множество движений образует группу.

Задание движений.

- подвижный репер, жестко связанный с телом.

Чтобы задать положение твердого тела (т.е. положение всех его точек) надо знать положение подвижного репера, т.е. , , , .

Радиус-вектор точки твердого тела в подвижном репере имеет постоянные компоненты

,

Задание положения твердого тела

Разложим новый базис (подвижный) по старому (абсолютному):

, (слева и справа – матрицы, составленные из столбцов-векторов)

- ортогональная матрица, . Ориентация реперов совпадает, значит

Следствие.

Найдем производные подвижного репера.

Лемма. Матрица - кососимметрическая.

Доказательство. , поэтому

. Следовательно . Доказательство завершено.

Представим в виде , где , , - пока просто обозначения для элементов . Тогда

(*)

Положим . Равенство (*) равносильно следующим трем

, , (*)

Это формулы Пуассона.

Определение. Вектор называется вектором угловой скорости твердого тела (или – вектором мгновенной угловой скорости твердого тела).

Теорема Эйлера (1750) (О распределении скоростей в твердом теле) , где и - любые две точки твердого тела.

Доказательство. Подвижную систему можно брать по-разному. Пусть начало подвижной системы координат расположено в точке . Тогда

(**)

Причем , , - постоянные и . Продифференцировав (**) по времени, получим

Мы воспользовались здесь формулами Пуассона (*). Доказательство завершено.

Примеры

(1) Пусть в некоторый момент времени угловая скорость равна нулю . Тогда скорости всех точек твердого тела равны. В этом случае движение твердого тела называется мгновенно-поступательным в момент времени .

Определение. Движение твердого тела называется поступательным, если для любых двух различных его точек прямая, соединяющая их, во все время движения остается параллельной своему первоначальному направлению. При поступательном движении скорости всех точек тела равны во все время движения.

Движение твердого тела называется прямолинейным , если траектории всех его точек являются прямыми линиями. При прямолинейном движении скорости всех точек твердого тела равны и сохраняют свое направление во все время движения.

Задача. Пусть движение твердого тела мгновенно-поступательное при всех . Движется ли тело твердое тело поступательно? Движется ли тело прямолинейно?

Ответ. Да. Нет.

Задача. Пусть в твердом теле скорости двух точек одинаковы (например, равны нулю): . Тогда .

(2) Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси .

Положение тела определяется одним параметром – углом поворота . Пусть - единичный вектор на оси , указывающий в ту сторону, откуда положительное направление изменения угла видится против часовой стрелки (правило буравчика). Тогда

(***)

Доказательство. Любая точка тела движется по окружности радиуса , равного расстоянию от до . Поэтому и вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через и .

То же дает формула Эйлера , где и вектор найден из (*). Задание – Проверить это!

Также проверить, что направление (одно из двух на ) для выбрано правильно.

Формула (***) дает связь между понятиями угловой скорости твердого тела и скоростью изменения угловой координаты при движении точки по окружности.

(3) Пусть в твердом теле имеется точка , скорость которой, , постоянна, а угловая скорость тела постоянная и параллельна . Тогда говорят, что тело совершает винтовое движение. Траектории точек – это винтовые линии (мы их рассматривали выше).

Задача. Выразить шаг винта через и .

Утверждение. В общем случае при движении твердого тела в каждый момент времени существует прямая такая, что для любой точки имеем . Говорят, что тело совершает мгновенно-винтовое движение с осью .

Утверждение означает, что в любой момент времени движение твердого тела либо мгновенно-поступательное (при ), либо мгновенно винтовое.

Доказательство. Пусть и - какие-нибудь точки твердого тела.

(**)

Если скорость точки параллельна вектору , то и, из (**) имеем

Воспользуемся известной формулой . Тогда

Из этого равенства точка определена неоднозначно. Пусть тогда получаем

Прямая , проходящая через и параллельная - искомая.

Задача. Найти вектор угловой скорости движения трехгранника Френе.

Ответ. . Этот вектор называется вектором Дарбу.

Вопросы к материалу.

• Твердое тело и его движение, как изометрия .

• Формулы Пуассона.

• Мгновенная угловая скорость твердого тела.

• Теорема Эйлера.

• Поступательное и мгновенно-поступательное движение.

• Угловая скорость тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

• Винтовое движение твердого тела.

• Мгновенно-винтовое движение твердого тела.