24 Плоская круговая ограниченная задача трех тел (Е.И. Кугушев - Лекции)

24-2

Лекция 24

Плоская круговая ограниченная задача трех тел.

Рассмотрим задачу о движении на плоскости трех гравитирующих точек: двух “массивных” (Солнце , Юпитер ) и одной “легкой” (астероид ). Задачу рассматриваем в ограниченной постановке, считая, что масса точки настолько мала, что не влияет на движение и .

Систему единиц выбираем таким образом, чтобы

а) , (суммарная масса массивных точек равна единице).

б) и движутся по круговым орбитам вокруг их общего центра масс. Считаем, что расстояние .

в) Гравитационная постоянная равна единице.

г) Рассматриваем плоскую задачу, когда астероид движется в плоскости орбит и .

Задача. Доказать, что в предположениях а)-в) угловая скорость движения точек и по окружностям равна единце.

Решение. Сила действующая на равна и направлена по . Центростремительное ускорение равно , где - расстояние от до центра масс и : . Поскольку , то . Смотрим на плоскость движения с такой ее стороны, чтобы .

Уравнения движения астероида будем писать в подвижной системе координат .

- центр масс системы

Ось всегда проходит через точки и (от к ).

Ось лежит в плоскости движения и ортогональна оси .

Точки и в этой системе имеют постоянные координаты

,

Пишем Лагранжиан задачи о движении точки .

,

,

Следовательно

, ,

Поскольку всюду входит множитель , то сократим на него.

Итак,

Положения равновесия на плоскости называются точками либрации. Их всегда 5: три на оси , и две в вершинах равностороннего треугольника.

Точки либрации , , найдены Эйлером. Они всегда неустойчивы.

Точки , найдены Лагранжем. Исследуем их устойчивость.

Ранее (см Lect12) мы получили, что эти точки лежат в вершинах равностороннего треугольника.

Возьмем точку . Ее координаты . Сначала “отправим” это положение равновесия в ноль. Для этого введем новые координаты , . В новых координатах

Находим квадратичную часть Лагранжиана

Где

, ,

Пользуясь тем, что при . Получаем

,

Итак,

Линеаризованные уравнения движения

, ,

Характеристическое уравнение

Корни

Корни чисто мнимые и ненулевые, т.е. положение равновесия устойчиво в линейном приближении, если , т.е. .

Для точки условие устойчивости по первому приближению полцчается таким же.

Отметим, что “потенциальная энергия” в Лагранжиане имеет в нуле невырожденный максимум. Так, что устойчивость имеет место за счет гироскопической стабилизации.

Влияние диссипативных сил на устойчивость положения равновесия.

Диссипативными силами (или силами трения) в классической механике принято называть силы, под действием которых полная энергия системы уменьшается с ростом времени (если скорости отличны от нуля ).

Пример. Рассмотрим натуральную Лагранжеву систему: . Будем считать, что помимо потенциальных сил в системе действуют силы , где - функция диссипации Релея , причем матрица Релея симметрична и положительно определена. Уравнения движения имеют вид

(*)

Утверждение. Силы Релея диссипативны.

Доказательство. Нам надо доказать, что при

. Для этого вспомним, что , , и . Когда мы выводили интеграл Якоби (обобщенный интеграл энергии), то по теореме Эйлера об однородных функциях мы получили

В силу уравнений Лагранжа (*) имеем

при

В последнем равенстве мы опять применили теорему Эйлера об однородных функциях.

Доказательство завершено.

Задача. Покажите, что утверждение справедливо и в более общем случае, когда присутствуют гироскопические силы и .

Замечание. Обычно полагают , а иногда считают что неотрицательно определена.

Имеет место следующее обобщение теоремы Лагранжа-Дирихле.

Теорема. Пусть имеется натуральная Лагранжева система: , и пусть изолированный минимум потенциальной энергии. Тогда положение равновесия устойчиво по Ляпунову и остается устойчивым при наложении диссипативных сил.

Доказательство совпадает с доказательством обычной теоремы Лагранжа-Дирихле. Только там где мы писали нужно писать

На примере системы с Лагранжианом

легко показать, что гироскопическая стабилизация, вообще может разрушаться диссипативными силами.

Задача. Покажите это.

Решение. (Решить!!!)

Вопросы к материалу.

• Плоская круговая ограниченная задача трех тел.

• Точки либрации.

• Устойчивость в линейном приближении точки либрации Лагранжа.

• Влияние диссипативных сил на устойчивость положения равновесия.

• Диссипативность сил Релея.

• Теорема Лагранжа-Дирихле при наложении диссипативных сил.

• Разрушение гироскопической стабилизации диссипативными силами.