23 Линеаризация уравнений Лагранжа около положения равновесия (Е.И. Кугушев - Лекции)

23-2

Лекция 23

Линеаризация уравнений Лагранжа около положения равновесия.

Вспомним, что такое линеаризация обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности особой точки. (Рассказать!!!)

Пусть - положение равновесия Лагранжевой системы с лагранжианом вида . Разложим Лагранжиан в ряд Тейлора в точке и оставим не более чем квадратичные члены. Выпишем для этого “усеченного” Лагранжиана уравнения Лагранжа. Это соответствует тому, что мы пренебрегаем нелинейными по , , членами в полных уравнениях Лагранжа, т.е. линеаризуем их в положении равновесия.

Задача (шутка). Нарисовать коммутативную диаграмму процесса линеаризации уравнений Ланранжа.

Рассмотрим линеаризацию более подробно. Для удобства считаем, что (иначе делаем замену ). Кроме того, можно считать, что (т.к. сдвиг Лагранжиана на константу не изменяет уравнений движения).

+ члены третьего и выше порядка по .

Здесь обозначено . В полученом ряду V слагаемое – тождественно равно нулю, IV и II – не влияют на уравнения движения. Третьим и выше порядком пренебрегаем. Рассмотрим три матрицы

, ,

Тогда квадратичная часть Лагранжиана имеет вид

Соответствующие уравнения Лагранжа называются уравнениями, линеаризованными около положения равновесия .

где - кососимметрическая матрица. Напомним, что - положительно определенная матрица. Матрицы и симметричны.

Из общей теории систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений мы знаем, что общее решение есть линейная комбинация (с полиномиальными по времени коэффициентами) функций вида , где , . Если же все корни характеристического уравнения простые, то коэффициенты постоянны.

Положение равновесия называется невырожденным, если критическая точка потенциальной энергии невырождена, т.е. . Заметим, что если выполнены условия теоремы Лагранжа-Дирихле и положение равновесия невырождено, то матрица положительно определена.

Верно следующее.

Утверждение. Пусть система натуральная ( ), положение равновесия невырождено и потенциальная энергия в нем имеет изолированный минимум ( - положительно определенная матрица). Тогда все корни характеристического уравнения чисто мнимые и общее решение линеаризованных уравнений Лагранжа

(*)

квазипериодично, т.е. имеет вид

, ,

Доказательство. Дается в общей теории линейных ОДУ. Напомним идею. Матрица А, как положительно определенная, выбирается в качестве матрицы Грамма скалярного произведения. Поскольку матрица симметрична, то все ее собственные значения вещественны. Приводим матрицу к диагональному виду в ортонормированном базисе. В этой системе координат станет единичной матрицей, диагональной, причем на диагонали будут стоять положительные значения. Отсюда сразу все следует.

В условиях утверждения положение равновесия устойчиво по Ляпунову и движение начавшись вблизи него будет совершать движения около него же. Уравнения (*) описывают движение в первом приближении называются уравнениями малых колебаний.

Утверждение. Характеристический полином линеаризованных уравнений - четный.

Доказательство. Поскольку , то

Доказательство закончено.

Следствие. Если - корень характеристического уравнения, то тоже его корень. Корни встречаются парами. Поскольку характеристический многочлен вещественный, то комплексно сопряженное значение - тоже корень. Итак корни встречаются парами (чисто мнимые или чисто вещественные) или четверками

Вещественные корни встречаются парами и .

Чисто мнимые корни встречаются парами и .

Комплексные корни встречаются четверками , , , .

Теорема. (Ляпунов) (О неустойчивости по первому приближению) Пусть хотя бы один из корней характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть. Тогда положение равновесия исходной (т.е., нелинеаризованной) системы неустойчиво.

Доказательство. Без доказательства. Его можно найти, например, в Лекциях по теории устойчивости движения Н.Г. Четаева, или в аналогичных лекциях Б.П. Демидовича.

Следствие. Положение равновесия натуральной Лагранжевой системы с гироскопическими силами ( ) может быть устойчивым только тогда, когда все корни характеристического уравнения (линеаризованной системы) чисто мнимые (или нулевые).

Гироскопическая стабилизация.

Если положение равновесия Лагранжевой системы неустойчиво, то иногда его можно сделать устойчивым, если в системе добавить гироскопические силы. Т.е. к Лагранжиану системы добавить некий член линейный по скоростям. Такой процесс (если он возможен) называется гироскопической стабилизацией положения равновесия.

Определение. Степенью неустойчивости положения равновесия называется количество корней характеристического уравнения, имеющих положительную вещественную часть.

Утверждение. Невырожденное (т.е. ) положение равновесия натуральной механической системы, степень неустойчивости которого нечетная не может быть стабилизировано путем добавления гироскопических сил.

Доказательство. Т.к. - положительно определенная, то . Поэтому . Поскольку комплексные корни встречаются парами (или четверками), то характеристический полином исходной натуральной системы имеет нечетное число вещественных корней с положительной вещественной частью.

Т.к. и , то .

Добавим в систему гироскопические силы. Для нового характеристического полинома по-прежнему и . Следовательно имеет положительный вещественный корень, и, по теореме Ляпунова, положение равновесия остается неустойчивым. Доказательство завершено.

Покажем (на примере), что неустойчивое положение равновесия четной степени неустойчивости может быть стабилизировано путем добавления гироскопических сил.

Пример. Лагранжиан .

Уравнения Лагранжа

(**)

Характеристическое уравнение

или

или

В общем случае корни таковы

При , т.е. при отсутствии гироскопических сил, получаем натуральную систему. Можно показать , что эта система является линеаризацией системы – тяжелая материальная точка на сфере в окрестности верхнего положения равновесия.

Положение равновесия неустойчиво, т.к. характеристические числа суть и . Среди них есть два с положительной вещественной частью.

При все корни чисто мнимые. Значит положение равновесия системы (**) становится устойчивым.

Замечание. Напомним еще раз, что гироскопические силы не меняют вид интеграла энергии .

Задача. Известна матрица гироскопических сил. Найти соответствующий член Лагранжиана.

Решение. Мы знаем, что . Ищем решение среди кососимметрических матриц . Тогда . Общее решение , где - любая симметрическая матрица (ее добавление не меняет уравнений движения). Итак, можно считать, что .

Три источника гироскопических сил.

а) Электромагнитные силы.

Задача. Написать Лагранжиан задачи о движении частицы массы и заряда в поле электромагнитных сил , где - скорость, - вектор напряженности магнитных сил.

Решение. , где

Уравнения движения , или . Значит матрица гироскопических сил такова и . Вспоминая, что , получаем .

б) Понижение порядка по Раусу.

Задача. Проверить, что после понижения порядка по Раусу в натуральной Лагранжевой системе появляются гироскопические силы.

Решение. (Решить!!!)

в) Силы инерции. Например, уравнения движения свободной материальной точки во вращающейся системе координат.

Задача. Написать такие уравнения в плоском случае.

Решение. (Решить!!!)

Одним из характерных примеров к пункту в) является плоская круговая ограниченная задача двух тел, которая рассматривается ниже.

Вопросы к материалу.

• Линеаризация уравнений Лагранжа около положения равновесия.

• Уравнения малых колебаний.

• Четность характеристического полинома линеаризованных уравнений.

• Парность корней характеристического уравнения.

• Формулировка теоремы Ляпунова о неустойчивости по первому приближению.

• Степень неустойчивости.

• Теорема о гироскопической стабилизации.

• Пример гироскопической стабилизации.

• Три источника гироскопических сил.