22 Вариационные принципы для периодических решений (Е.И. Кугушев - Лекции)

22-2

Лекция 22

Вариационные принципы для периодических решений.

Определение. Периодическим решением уравнений Лагранжа называется решение такое, что для некоторого имеем при всех .

Определение. Вариацией периодического решения называется гладкое семейство кривых такое, что

а)

б)

Задача. Доказать, что -периодическое решение уравнений Лагранжа с Лагранжианом является экстремалью функционала и наоборот.

Решение. Указание – “игольчатая” вариация – периодична.

(Решить!!!)

Задача. Сформулировать и дать принцип Мопертюи для периодического решения.

(Решить!!!)

с-115

Идея применения вариационных принципов на примере двойного маятника.

Конфигурационное пространство двойного маятника – это двумерный тор . Пусть силы, действующие на маятник, потенциальны с потенциальной энергией . Поскольку конфигурационное пространство компактно, то достигает на нем своего максимума. Рассмотрим уровень энергии больший чем . Тогда ОВД совпадает со всем конфигурационным пространством и метрика Якоби определена и невырождена всюду на .

Рассмотрим какой-нибудь гомотопический класс кривых на , т.е. класс замкнутых кривых, которые переводятся друг в друга непрерывной деформацией.

В вариационном исчислении доказывается (и это интуитивно – справедливо), что в любом гомотопическом классе имеется кривая минимальной в метрике длины. Для нетривиального класса – эта кривая невырождена (в точку). Согласно периодическому варианту принципа Мопертюи она – траектория уравнений Лагранжа. (Хотя требуются некоторые усилия, чтобы это строго проверить). В частности, для любых целых , , существует периодическое решение энергии , совершающее за период оборотов первого звена маятника и оборотов второго звена.

Теорема Ли-Нётер.

Рассмотрим Лагрнажеву систему с лагранжианом . Пусть - некое векторное поле на пространстве положений. Ему соответствует дифференциальное уравнение . Пусть - его локальный фазовый поток, или оператор сдвига по траекториям.

Согласно определению

(*-1)

Пусть теперь есть кривая . Обозначим вектор скорости . И

(*-2)

Во втором члене – матрица .

Итак, мы имеем, зависящее от , преобразование фазового пространства

Определение. Лагранжиан инвариантен относительно этих преобразований, если .

Условие инвариантности (из (*)) :

(**)

В этом случае (т.е., в случае инвариантности) называют полем симметрий лагранжевой системы.

Теорема. (Ли-Нётер) Если - поле симметрий лагранжевой системы, то у нее имеется первый интеграл движения .

Доказательство. Уравнения Лагранжа домножим :

Но согласно (**). Следовательно . Доказательство завершено.

Пример. Пусть - циклическая координата, т.е. . Положим . Тогда сдвиг фазового потока таков . Очевидно, что инвариантен относительно таких преобразований. Это же можно было проверить с помощью (**). Интеграл Ли-Нётер совпадаетс циклическим интегралом .

Задача. Пусть - полк симметрий, и . Тогда в окрестности точки можно ввести обобщенные координаты так, что интеграл Ли-Нётер станет циклическим.

Указание. Воспользоваться теоремой о выпрямлении векторного поля в окрестности неособой точки. Воспользоваться инвариантностью уравнений Лагранжа при замене координат.

Замечание. Заметим, что для натуральных систем ( и - квадратично по скоростям) интегралы Ли-Нётер линейны по скоростям.

Положения равновесия натуральных Лагранжевых систем.

Определение. Лагранжева система называется натуральной, если , где кинетическая энергия - положительно определенная квадратичная форма (относительно скоростей), и потенциальная энергия не зависит от времени.

Задача. Покажите, что, если на систему материальных точек наложены идеальные связи не зависящие от времени и силы потенциальны и тоже не зависят от времени, то такая система является натуральной Лагранжевой. Отсюда и происходит термин – “натуральные системы”.

Определение. Точка называется положением равновесия, если кривая является решением уравнений движения (уравнений Лагранжа).

Замечание. В фазовом пространстве положение равновесия – это точка .

Предложение. Пусть гладкая функция. Тогда - положение равновесия тогда и только тогда, когда критическая точка потенциальной энергии: .

Доказательство. Поскольку , то уравнения Лагранжа для положения равновесия имеют вид . При первый член тождественно равен нулю. Доказательство завершено.

Определение. Положения равновесия называется устойчивым по Ляпунову, если для любой окрестности точки в фазовом пространстве существует окрестность той же точки, такая, что любое решение с начальными условиями в существует и лежит в при всех .

Теорема. (Лагранж-Дирихле). Пусть - точка изолированного минимума потенциальной энергии. Тогда соответствующее положение равновесия устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Доказывать будем в терминах - . Не нарушая общности можно считать, что . Также можно считать, что - это достигается заменой координат . Возьмем любую окрестность точки фазового пространства. Поскольку кинетическая энергия – положительно определена по скоростям, то точка фазового пространства - это точка изолированного минимума полной энергии системы . Значит для некоторого найдется окрестность нуля такая, что и при , и . Возьмем

вместо . Тогда и граница тоже будет лежать в , т.е. и на ней всюду будет . Значит и . Функция непрерывна в нуле и . Поэтому найдется такое , , что в окрестности нуля полная энергия будет меньше, чем . Вспомним, что полная энергия является первым интегралом движения, т.е. на траектории движения выполняется . Поэтому движение начавшееся в будет все время иметь полную энергию меньшую, чем , и, значит, не пересечет границы , т.е. все время будет оставаться в и, значит и в . Решение будет существовать при всех . Это следует из теоремы о неограниченной продолжаемости решения если его фазовая кривая не выходит на границу компакта (замыкания ).

Доказательство завершено.

Для натуральной системы , где - члены являющиеся -формами относительно скоростей. Рассмотрим более общий случай, когда , т.е. когда Лагранжиан содержит члены линейные по скоростям. Такое бывает, например, когда связи зависят от времени.

Линейные по скоростям слагаемые в Лагранжиане переходят в уравнениях движения в гироскопические силы.

Напомним, что, если Лагранжиан не зависит явно от времени, то существует обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби) .

Задача. Показать, что сформулированные выше предложение и теорема остаются верными для Лагранжианов вида . При этом надо считать .

Вопросы к материалу.

• Вариационные принципы для периодических решений.

• Периодические движения двойного маятника.

• Поле симметрий.

• Теорема Ли-Нётер.

• Положения равновесия натуральных Лагранжевых систем.

• Устойчивость положения равновесия по Ляпунову .

• Теорема Лагранжа-Дирихле.

• Обобщение теоремы Лагранжа-Дирихле для систем с гироскопическими силами.