20 Уравнения Лагранжа со множителями (Е.И. Кугушев - Лекции)

20-3

Лекция 20

Уравнения Лагранжа со множителями.

Выведем уравнения движения, которые годятся не только для голономных, но и для неголономных систем. Пусть на механическую систему наложены идеальные связи. Голономную их часть учтем, введя обобщенные координаты . Оставшиеся, неголономные связи в обобщенных координатах записываются так:

,

Векторы считаем линейно независимыми при всех . Напомним, что виртуальные перемещения – это все вектора , которые удовлетворяют уравнениям

, (*)

В исходных координатах принцип Даламбера-Лагранжа выглядел так

Ранее, когда рассматривали голономные связи, мы показали, что это равенство преобразуется к виду

В отличие от голономного случая, здесь вектора могут принимать не любые значения, а лишь перпендикулярные векторам (см. (*)). Следовательно, -мерный вектор линейно зависим с векторами и его можно разложить по базису векторов . Обозначим коэффициенты разложения , .

(Дать лемму об аннуляторе!!!)

Таким образом, в каждый момент времени выполняется

(1)

(2)

Эта система содержит уравнений относительно неизвестных и . Кроме того, у нас есть начальные условия , естественно, удовлетворяющие уравнениям связей.

Покажем, что переменные можно исключить и получить обычную задачу Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Утверждение. Из уравнений (1)-(2) можно получить выражения

Замечание. Подставив их в (1), получаем стандартную задачу Коши.

Доказательство утверждения. Уравнения (1) переписываются в виде

(**)

Обозначим

Домножим (**) на и просуммируем по . Тогда получим

(***)

Дифференцируя (2) по времени получаем

Или, при соответствующих обозначениях,

Обозначим теперь

Подставив все это в (***), получим

Далее все следует из следующего факта

Лемма. Квадратная матрица невырождена.

Доказательство леммы. Действительно, - матрица Грамма (линейно независимых) векторов относительно кинетической метрики .

где , означает скалярное произведение в этой метрике. Из линейной алгебры мы знаем, что матрица Грамма невырождена тогда и только тогда, когда вектора линейно независимы.

Доказательство леммы и утверждения закончено.

Шар в цилиндре. (Д.В. Трещев)

1. Постановка задачи.

Однородный шар радиуса и массы катается без отрыва и проскальзывания в цилиндре радиуса

. Определить его движение.

2.План.

Уравнения движения

а) Уравнения связи (2 уравнения)

б) Теорема об изменении импульса (3 уравнения)

в) Теорема об изменении кинетического момента в осях Кёнига (3 уравнения)

Итого: 8 уравнений

Переменные

i) Положение центра масс (на поверхности цилиндра радиуса ) – (2 координаты)

ii) Угловая скорость (3 координаты)

iii) Компоненты реакции связи. Реакция приложена только к точке касания, поэтому имеет 3 компоненты. (3 координаты)

Итого: 8 переменных.

3.Обозначения.

- подвижная система координат. - проекция точки (центр шара) на ось симметрии цилиндра. - ось симметрии цилиндра. Ось проводим через и , т.е. и , точка касания шара и цилиндра, .

i) Пусть и - высота и угол центра масс в цилиндрической системе координат.

ii) - проекции угловой скорости на оси системы .

iii) - проекции реакции.

4.Уравнения движения.

а) Выпишем уравнения связей. Условие качения без проскальзывания состоит в том, равна нулю что абсолютная скорость точки шара, касающейся цилиндра.

(*)

Спроектируем все вектора на подвижные оси . Тогда

,

И (*) даст два уравнения

(1)

(2)

Это уравнения связей, наложенных на систему.

б) Освободим систему от связей, добавим реакции и применим теорему об изменении импульса системы. Импульс системы равен импульсу центра масс. Ускорение центра масс в проекции на подвижные оси :

Теорема об изменении импульса системы дает уравнения

(3)

(4)

(5)

в) Применим теорему об изменении кинетического момента в осях Кёнига . Тензор инерции шара относительно центра масс – шаровой, и равен , где

,

Заметим, что

, ,

Выпишем скорость изменения кинетического момента:

Момент сил тяжести относительно центра масс равен нулю (Показать где-нибудь!!!) Остаются только моменты реакций

Теорема дает уравнения

(6)

(7)

(8)

Система уравнений (1)–(8) замкнута.

5) Найдем ,

(а) Про (3) можно забыть, т.к. нигде больше нет.

(б) Исключаем реакции. Из (4), (8) получаем

(9)

Из (5), (8) получаем

(10)

У нас остается пять уравнений (1), (2), (6), (9), (10) относительно неизвестных .

(1)

(2)

(6)

(9)

(10)

(в)

(*1) Дифференцируя (1) по времени, получаем

Тогда из (9) имеем

Поскольку , то отсюда следует, что . Но тогда из (1) следует, что и . Обозначим .

(*2) Решаем (2), (6), (10)

(I)

(II)

(III)

Дифференцируем (III) по времени и подставляем из (II). Получаем

(IV)

Дважды дифференцируем (I) по времени и подставляем в (IV). Получаем

Это линейное, однородное уравнение второго порядка. Его общее решение имеет вид

где и произвольные постоянные, а .

Теперь из (I) находим

Замечаем, что совершает гармонические колебания. Значит шар не упадет бесконечно вниз.

Задача. Пусть , , , , . Тогда

Вопрос. Что будет при

(Решить!!!)

Вопросы к материалу.

• Уравнения Лагранжа со множителями.

• Сведение к задаче Коши.

• Шар в цилиндре.