19 Первые интегралы уравнений Лагранжа второго рода (Е.И. Кугушев - Лекции)

19-2

Лекция 19

Первые интегралы уравнений Лагранжа второго рода.

Рассмотрим уравнения Лагранжа в потенциальном случае.

, (*)

(1) Интеграл Якоби.

Утверждение. Пусть не зависит явно от . Тогда функция является первым интегралом уравнений Лагранжа.

Замечание. Этот интеграл называется обобщенным интегралом энергии или интегралом Якоби. Поясним это название. Пусть . Тогда по теореме Эйлера об однородных функциях

Значит

В случае, когда связи не зависят от времени, имеем . Тогда - это просто полная энергия системы в обычном смысле.

Доказательство утверждения. Проводим прямые вычисления.

, ,

Из (*), используя то, что находим

=

Доказательство завершено.

(2) Циклические координаты и интегралы.

Рассмотрим систему с степенями свободы и ланранжевыми координатами . Пусть лагранжиан системы - . Координата называется циклической, если . В соответствии с уравнениями Лагранжа второго рода имеем . Значит, циклической координате соответствует первый интеграл движения , который называется циклическим интегралом.

Пусть координаты циклические. Остальные координаты называются позиционными. Лагранжиан имеет вид . Циклическим координатам соответствуют первые интегралы движения , . Будем предполагать, что у нас невырожденный случай, и нам удалось разрешить эту систему уравнений относительно циклических скоростей: . Составим функцию Рауса , в которой везде подставлено .

Теорема. (Раус) Переменные удовлетворяют уравнениям Лагранжа второго рода с лагранжианом

Получаем

Вспоминая, что , получаем отсюда . Аналогично

Значит, можно рассмотреть систему с координатами и лагранжианом движение системы будет описываться уравнениями Лангранжа второго рода

Доказательство завершено.

Система с координатами и лагранжианом называется приведенной системой. Поскольку число степеней свободы приведенной системы меньше исходного (на число циклических координат), то метод Рауса называется также понижением поряка системы по Раусу. Или игнорированием циклических координат по Раусу.

Пример. Движение по поверхности вращения.

Пусть ось симметрии вертикальна. Обобщенные координаты - высота, - полярный угол. Обозначим расстояние до оси симметрии . - масса точки.

Кинетическая энергия . Выражаем через обобщенные координаты.

Заметим, что в цилиндрических координатах модуль скорости точки выражается следующим образом: . В самом деле,

, ,

, ,

В нашем случае . Поэтому

Внешние силы – поле сил тяжести. Значит,

Замечаем, что - циклическая переменная. Находим циклический интеграл

Это интеграл момента количества движения (кинетического момента). Выражаем скорость циклической переменной через все остальное

Строим функцию Рауса

Мы перешли к системе с одной степенью свободы. У нее есть первый интеграл – обобщенный интеграл энергии

(*)

В исходной системе был интеграл энергии

Подставив сюда , получим (*). Значит обобщенный интеграл энергии в приведенной системе – равен полной энергии исходной системы.

Следствие. Область возможности движения (ОВД) в приведенной системе

Видим, что в области со слишком малым траектория не заходит (если ).

Задача. Нарисовать фазовый портрет приведенной системы (на плоскости .

Решение. (Решить!!!)

Преобразования лагранжиана, сохраняющие уравнения.

Отметим, что исходный лагранжиан можно изменить так, что уравнения Лагранжа второго рода не изменятся. Такие преобразования называются калибровкой лагранжиана. Они помогают упростить лагранжиан. Приведем примеры таких преобразований.

а) , - тривиально

б) , - тривиально

в) . В самом деле, ,

Замечаем теперь, что

в) доказано.

Явный вид уравнений Лагранжа.

Пусть связи стационарны и . Тогда и , поэтому . Дифференцируя по , получаем

Замечаем, что

и

Выписываем уравнения Лагранжа в явном виде

(*)

Пусть - матрица обратная к , так, что

- символ Кронекера

Домножив (*) на обратную матрицу, получим

(**)

Где величины

называются символами Кристоффеля Римановой метрики (см. Дифф. Геомктрию)

(***)

Если обобщенные силы отсутствуют: , то уравнения движения приобретают вид

т.е. движение происходит по геодезическим метрики . Иногда ее называют кинетической метрикой.

Замечание. Мы заодно показали, что уравнения Лагранжа однозначно разрешаются относительно старших производных.

Задача. Показать, что Лагранжева производная – ковектор.

(Обсудить!!!)

Вопросы к материалу.

• Первые интегралы уравнений Лагранжа второго рода.

• Обобщенный интеграл энергии. Интеграл Якоби.

• Циклические координаты и интегралы.

• Теорема Рауса.

• Преобразования лагранжиана, сохраняющие уравнения. Калибровка.

• Явный вид уравнений Лагранжа.

• Символы Кристоффеля. Кинетическая метрика. Геодезические.

• Разрешимость уравнений Лагранжа относительно старших производных.