18 Уравнения Лагранжа второго рода (Е.И. Кугушев - Лекции)

18-2

Лекция 18

Уравнения Лагранжа второго рода.

Пусть на систему из точек наложены голономные связи

, ,

- обобщенные координаты (координаты на поверхности ).

- это число называется числом (количеством) степеней свободы.

Отметим, что векторы - линейно независимы – это следствие определения локальных координат на поверхности.

Скорости точек, выраженные через обобщенные координаты

Выражаем кинетическую энергию через обобщенные координаты

где - квадратична по , - линейна по , - не зависит от .

,

,

Лемма. Матрица положительно определена.

Доказательство. Заморозим время и возьмем произвольное виртуальное перемещение с компонентами

Если не все , то хотя бы один из отличен от нуля. Тогда

Доказательство завершено.

Замечание. Еще проще лемма доказывается, если заметить, что матрица - это матрица Грамма векторов ,…, в метрике, задаваемой матрицей масс

Замечание. Если связи не зависят от времени, то можно считать, что и тогда .

Вопрос. Почему здесь используется осторожная фраза “можно считать, что”?
Ответ. Обобщенные координаты локальны.

Движение системы можно задавать в терминах обобщенных координат:

, , тогда

Теорема. (Лагранж) Функции задают движение системы тогда и только тогда, когда они удовлетворяют уравнениям Лагранжа второго рода:

,

где величины

называются обобщенными силами.

Замечание. При взятии частных производных в уравнениях Лагранжа второго рода надо рассматривать как функцию от

независимых переменных:

Так, например, если , то , и .

Доказательство. Применим принцип Даламбера-Лагранжа (помня, что он является необходимым и достаточным условием)

, для любых

Возьмем , где ненулевая компонента имеет номер , тогда

Значит,

Далее все следует из такой Леммы:

Лемма.

Доказательство. Сначала докажем два полезных равенства

(1)

(2)

В этих формулах, при взятии частных производных переменные рассматриваются как независимые.

Формула (1) сразу следует из того, что . Отсюда же видим, что

Эти и есть (2)

Перейдем теперь к доказательству леммы. Имеем

Доказательство леммы завершено. Тем самым, и доказательство теоремы завершено.

Итак, для составления уравнений Лагранжа второго рода нужно

1) Ввести обобщенные координаты , через которые выражаются абсолютные координаты точек системы.

2) Найти кинетическую энергию системы в обобщенных координатах .

3) Найти обобщенные силы

,

4) Выписать уравнения

,

В случае потенциальных сил выразим потенциал через обобщенные координаты . Тогда имеем

Значит,

Уравнения Лагранжа принимают вид

где

Функция называется лагранжианом.

Пример. Физический маятник.

,

Уравнения Лагранжа

Утверждение. Пусть одна из обобщенных координат – это угол поворота системы как одного целого вокруг неподвижной оси , проходящей через начало абсолютной системы координат . Тогда обобщенная сила - это момент внешних активных сил в системе, относительно оси .

Доказательство. Действительно, смещению соответствует виртуальное перемещение с компонентами

,

( имеет начало в точке ). Следовательно компоненты общего виртуального перемещения таковы:

Значит

Доказательство завершено.

Задача. Пусть - координата центра масс системы на оси - выбрана, как одна из обобщенных координат. Тогда обобщенная сила - это сумма внешних активных сил в системе, в проекции на ось .

Решение. (Решить!!!)

Вопросы к материалу.

• Уравнения Лагранжа второго рода. Обобщенные силы.

• Случай потенциальных сил. Лагранжиан.

• Два утверждения о механическом смысле обобщенных сил.