17 Свойства моментов инерции (Е.И. Кугушев - Лекции)

17-3

Лекция 17

Свойства моментов инерции.

Для сплошного твердого тела

где - расстояние до оси , - плотность массы.

Теорема. (Гюйгенс-Штейнер) Проведем ось через центр тяжести параллельно оси ( , ). Пусть - расстояние между осями. Тогда

Доказательство. Пусть тело вращается вокруг оси . По второй формуле Кёнига имеем

Доказательство завершено.

Задача. Доказать эту теорему непосредственно.

Задача. Доказать, что , причем равенство возможно тогда и только тогда, когда все точки тела лежат в плоскости

.

Решение. (Решить!!!)

Пример. Обруч: , плоский, следовательно

Задача. Показать, что

Задача. Найти моменты инерции сферы.

2) Вычисление кинетического момента твердого тела.

(1) Движение с неподвижной точкой.

Пусть , тогда по формуле Эйлера

,

(*)

Воспользуемся известной формулой

Тогда

(**)

где - оператор инерции твердого тела:

Оператор инерции линейно отображает пространство угловых скоростей твердого тела на пространство его кинетических моментов. В координатной записи

где,

, ,

, ,

Первые три величины , , – это моменты инерции тела относительно осей , и . Последние три величины , , и - называются центробежными моментами инерции относительно плоскостей , и .

Задача. Покажите, что, если тело невырождено, т.е. имеет в своем составе четыре некомпланарные материальные точки, то оператор инерции тоже невырожден.

Решение. (Решить)

Утверждение. Для твердого тела с неподвижной точкой выполнено

Доказательство. Из (*) и (**)

Доказательство завершено.

Замечание. Оператор инерции – это линейный оператор. Иногда его рассматривают как тензор второго ранга (т.е., билинейный функционал) и называют тензором инерции.

Следствие 1. для оси .

Доказательство. Пусть тело вращается вокруг . Тогда

Доказательство закончено.

Следствие 2. Так как при , то симметрическая матрица положительно определена.

Утверждение. Пусть и - операторы инерции в системах координат и , причем радиус векторы и в этих системах связаны ортогональным оператором , т.е. .

Тогда .

Доказательство. Заметим, что для ортогонального преобразования , и .

Пусть и - векторы угловой скорости в данных системах координат. Покажем, что

(***)

Действительно, по формуле Эйлера, . Поэтому

Но , , поэтому

Вспоминая, что и , получаем (***).

Пусть твердое тело вращается вокруг точки с угловой скоростью (или, в других координатах, ), тогда

Поэтому

Поскольку вектор произвольный, то

или

Доказательство завершено.

Таким образом, при ортогональных заменах координат матрица преобразуется как матрица квадратичной формы.

Следствие. В некоторой (ортогональной) системе координат является диагональной матрицей. Это вытекает из теоремы о приведении квадратичной формы к главным осям (см. курс линейной алгебры).

Система координат, в которой является диагональной матрицей называется главными осями инерции твердого тела.

Векторы, направленные вдоль главных осей инерции, являются собственными векторами оператора .

Замечание. Если имеет совпадающие собственные значения, то главные оси инерции определены неоднозначно. (В противном случае неоднозначность сводится лишь к изменению направления осей, или к их переобозначению).

Утверждение.

а) Пусть твердое тело имеет ось симметрии , . Тогда ее направляющий вектор - собственный вектор для .

б) Пусть твердое тело лежит в плоскости , . Тогда вектор перпендикулярный плоскости - собственный вектор для .

Доказательство. Пусть твердое тело вращается вокруг с угловой скоростью . Тогда

Суммировать можно по парам точек симметричных относительно . Посчитаем вклад одной из таких пар и . Согласно предположению . Следовательно,

Следовательно, . Т.к. , то а) доказано.

б) Пусть твердое тело вращается вокруг оси , .

Так как , то . Значит . Доказательство завершено.

Пример. Главные оси инерции диска относительно точки , лежащей в его плоскости

- ось симметрии , - перпендикуляр к плоскости – это главные оси инерции. Значит, (факт из линейной алгебры) и ось - перпендикуляр к плоскости - также главная ось инерции.

Теорема (Об изменении кинетического момента в осях Кёнига).

Пусть связи идеальны и допускают поворот системы относительно оси , проходящей через центр масс , и имеющей неизменное направление. Тогда

где - момент внешних активных сил относительно центра масс.

Следствие. Если допускается поворот вокруг любой оси , , то .

Доказательство теоремы. Согласно условиям, вектор с компонентами

является виртуальным перемещением. Подставляем его в уравнение принципа Даламбера-Лагранжа (обозначили - радиус-вектор в Кёниговой системе, т.е., )

Преобразуем

Второе слагаемое здесь ноль, т.к. . Поэтому

Доказательство закончено.

Теорема. Пусть связи стационарны, идеальны и допускают поступательное перемещение системы вдоль любого направления. Тогда

Доказательство. По второй формуле Кёнига

Следовательно,

Вопросы к материалу.

• Свойства моментов инерции.

• Теорема Гюйгенса-Штейнера.

• Вычисление кинетического момента твердого тела с неподвижной точкой.

• Оператор инерции твердого тела.

• Связь кинетической энергии, кинетического момента и оператора инерции.

• Свойства оператора инерции. Тензор инерции.

• Изменение оператора инерции при переходе к другой системы координат.

• Главные оси инерции.

• Теорема об изменении кинетического момента в осях Кёнига.

• Теорема об изменении кинетической знергии в осях Кёнига.