16 Действительное перемещение (Е.И. Кугушев - Лекции)

16-3

Лекция 16

Определение. Возьмем какое-нибудь движение системы , удовлетворяющее наложенным связям. Действительным перемещением в точке называется вектор скорости движения в этой точке , т.е. вектор с компонентами

Название этого вектора происходит от того, что при бесконечно малых вектор с компонентами

является бесконечно малым перемещением вдоль траектории движения.

Замечание. Действительное перемещение не всегда находится среди виртуальных перемещений (т.е., не всегда им является). Препятствием является зависимость связей от времени. Пусть на систему наложены связи

,

Подставим в уравнения связей траекторию движения – они будут тождественно удовлетворятся. Продифференцировав по времени получим

Если в точке в момент времени выполнено , то для любой траектории, проходящей через эту точку в данный момент, действительное перемещение не является виртуальным перемещением. Т.е. никакое действительное перемещение не является виртуальным перемещением.

И обратно, если в точке в момент времени выполнено , то пространство действительных перемещений лежит в пространстве виртуальных перемещений. Т.е. для любой траектории, проходящей через эту точку в данный момент, действительное перемещение является виртуальным перемещением.

Задача. Докажите, что если в точке в момент времени выполнено , то пространство действительных перемещений совпадает с пространством виртуальных перемещений.

Задача. Докажите, что разность двух возможных перемещений – это виртуальное перемещение. И наоборот, любое виртуальное перемещение можно представить в виде разности двух возможных перемещений.

Задача. Сформулируйте условия идеальности связей, используя возможные перемещения.

Ответ. Связи идеальны, если элементарная работа реакций связей на любых возможных перемещениях одна и та же.

Задача. Сформулируйте принцип Далабера-Лагранжа, используя возможные перемещения.

Теорема. (Об изменении кинетической энергии).

Если связи идеальны и на траектории движения действительные перемещения являются виртуальными, то скорость изменения кинетической энергии системы равна суммарной мощности всех активных сил, приложенных к точкам системы (как внутренних, так и внешних). Т.е.

Доказательство. Применим принцип Даламбера-Лагранжа, взяв в качестве виртуальных перемещений действительные. Тогда

Замечаем, что

Отсюда очевидно, соедует утверждение теоремы.

Задача. Пусть в любой момент времени на траектории выполняется условие . Выполняется ли для этой траектории теорема об изменении кинетической энергии.

Пример. Покажем, что, если связи нестационарны, то, вообще говоря,

Маленький шарик в гладкой трубке, вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью .

Составим уравнение связи. Пусть - координаты в горизонтальной плоскости, и - угол поворота трубки (оси ). Тогда

Значит уравнение связи таково:

Связь нестационарная. Виртуальные перемещения определяются из условия

Трения нет значит . Следовательно, , т.е., связь идеальная.

Мощность активных сил равна нулю.

Выпишем теперь уравнения движения в подвижной системе, пользуясь тем, что проекция сил тяжести и кориолисовых сил на ось равна нулю.

,

Домножив на получаем первый интеграл

С другой стороны

Поэтому

Пример щаверщен.

Задача. Для предыдущего примера найти движение, при котором все-таки выполняется теорема об изменении кинетической энергии.

Ответ. , поскольку здесь .

Следствие из теоремы. (Закон сохранения энергии). Пусть связи идеальны и стационарны. Пусть активные силы потенциальны: и потенциальная энергия не зависит явно от времени, Тогда полная энергия системы при движении сохраняется:

Доказательство. Поскольку связи стационарны, то действительные перемещения лежат среди виртуальных. Применяя теорему об изменении кинетической энергии, получаем

Доказательство завершено.

Вычисление динамических величин.

Основные динамические величины – это - импульс, - кинетический момент относительно точки , - кинетическая энергия.

а) Напомним, что - центр масс, определяется так:

, где

Тогда

б) Формулы Кёнига.

Кёнигова система координат строится для заданной системы материальных точек. Она имеет начало в центре тяжести, а ее оси параллельны осям абсолютной системы координат. Начало кёниговой системы двигается вместе с центром тяжести.

Другое определение. Осями Кёнига называются оси неизменного напрвления, проходящие через центр масс системы точек.

Задача. Сформулируйте условия, достаточные для того, чтобы Кёнигова система координат была инерциальной.

Ответ. Достаточно равномерного движения центра масс системы. Например, для свободной системы точек – сумма внешних сил равна нулю.

Задача. Чему равен импульс системы посчитанный относительно осей Кёнига.

Ответ. Нулю, т.к. центр тяжести в этой системе неподвижен.

Задача. Пусть - радиус векторы точек в Кёниговой системе. Проверить равенство .

Решение. Имеем , поэтому

Решение закончено.

Пусть и - кинетический момент и кинетическая энергия, посчитанные относительно осей Кёнига (т.е. в Кёниговой системе координат). Тогда

(1)

(2)

Это первая и вторая формулы Кёнига.

Замечание. (Лемма)

(*)

т.е. кинетический момент посчитанный относительно центра тяжести один и тот же, если брать абсолютные или относительные скорости.

Доказательство. Положим . Тогда

Формула (*) следствие равенства . Доказательство леммы закончено.

Доказательство формул Кёнига.

(1)

Второе и третье слагаемое здесь равны нулю, т.к. . Доказательство первой формулы Кёнига завершено.

(2)

Второе слагаемое здесь равно нулю, т.к.

Доказательство второй формулы Кёнига завершено.

в) Вычисление кинетической энергии твердого тела.

(1) Пусть тело имеет неподвижную точку , .Тогда по формуле Эйлера о распределении скоростей в твердом теле . Положим .

Утверждение. , , где - расстояние от точки с номером до оси .

Доказательство. Очевидно.

Определение. Величина называется моментом инерции системы точек относительно оси .

(2) Общий случай. Воспользуемся второй формулой Кёнига.

,

где - ось, проходящая через центр тяжести (точку ) и параллельная .

Пример. Катящийся обруч.

Решение. (Решить!!!)

Вопросы к материалу.

• Действительные перемещения и их свойства.

• Теорема об изменении кинетической энергии

• Закон сохранения энергии.

• Кёнигова система координат. Оси Кёнига.

• Формулы Кёнига.

• Кинетическая энергия твердого тела с закрепленной точкой.

• Момент инерции относительно оси.

• Кинетическая энергия твердого тела в общем случае.