14 Учение о связях (Е.И. Кугушев - Лекции)

14-2

Лекция 14

Учение о связях.

Пусть механическая система состоит из точек. Её положение характеризуется радиус-векторами . Часто оказывается, что эти векторы зависимы, т.е. выполняются равенства вида

, (*)

В этом случае говорят, что на систему наложены голономные или интегрируемые связи. Иногда такие связи называются геометрическими. Мы, конечно будем считать, что функции (*) достаточно гладкие.

Примеры.

(1) Математический маятник

Две связи:

(2) Невесомый твердый стержень, на концах которого две материальные точки

Одна связь:

(3) Движение материальной точки по поверхности .

Одна связь – уравнение поверхности: .

Координаты точек образуют пространство . В пространстве решения уравнений (*) образуют пространство положений системы или конфигурационное пространство.

Если связи невырождены, т.е.

(**)

то (в каждый момент времени ) пространство положений – это -мерное гладкое многообразие , возможно зависящее от времени. В связи с этим, иногда употребляется термин конфигурационное многообразие.

Задача. Доказать, что – гладкое -мерное многообразие.

В частности, в примерах:

(1) – окружность в .

(2) – поверхность второго порядка (цилиндр) в .

(3) .

с-052

Локально, в пределах координатной окрестности задается в виде

(***)

где - локальные координаты на .

Пример. В частности, если связей вообще нет, то и .

В случае невырожденных связей (**) имеем и называются обобщенными координатами (иногда лагранжевыми координатами). Число носит название число степеней свободы системы оно равно размерности многообразия . Положение системы взаимнооднозначно задается обобщенными координатами . Для краткости записи будем использовать вектор обобщенных координат .

Связи зазываются стационарными или склерономными, если не зависит от . В противном случае (иногда) связи называются реономными.

Замечание. Пусть на систему с обобщенными координатами наложена новая связь, представленная в виде . При этом перестают быть обобщенными координатами (их слишком много).

Виртуальные перемещения.

Зафиксируем момент времени и возьмем точку на . Пусть ее обобщенные координаты получили приращение . Тогда из (***) линейная часть приращения вектора равна

(4*)

Набор чисел называется виртуальным перемещением точек системы его можно рассматривать, как координаты вектора в . Поскольку тождественно выполняется

,

то из (****) удовлетворяют уравнениям

(5*)

Значит, вектор является касательным к в точке (в фиксированный момент ).

Определение. Пространством виртуальных перемещений в точке в момент времени называется пространство касательных векторов к в этой точке и в этот момент времени.

Выражения (5*) можно рассматривать как дифференциалы функций при замороженном времени. Символ используется вместо , чтобы указать на фиксацию времени. Пространство виртуальных перемещений – это пространство векторов обнуляющих эти дифференциалы.

Иногда виртуальные перемещения мыслятся как бесконечно малые смещения по конфигурационному многообразию , при фиксированном .

с-053

В силу (**) имеется линейно независимых виртуальных перемещений. Т.е. касательное пространство к имеет размерность .

Примеры.

(1) В первом примере (см. выше) связь задается уравнением , значит виртуальные перемещения задаются условиями . Можно выбрать в качестве обобщенной координаты угловую:

тогда

где - единичный касательный вектор к окружности, по которой двигается точка.

Неголономные (неинтегрируемые( связи.

В классической механике встречаются ситуации, когда ограничения типа равенств наложены не только на положения системы, но и на скорости. Мы будем рассматривать самый распространенный случай, когда соответствующие равенства оказываются линейными по скоростям, т.е. имеют вид

(+++)

где и - вектор-функции, а - обобщенные координаты. Если нет других связей, то можно взять .

Заметим, что обычная (голономная) связь может всегда быть представлена в виде (+++). Действительно, из следует

Заметим, что из этого равенства следует, что .

Определение. Если связь (+++) не приводится к виду , то она называется неинтегрируемой, или неголономной.

Замечание. В связи с этим определением голономные связи иногда называются интегрируемыми.

Реально доказать, что данная связь неинтегрируема обычно непросто.

Пример 1. Связь интегрируемая (для доказательства этого надо домножить ее на ).

Пример 2. Конек Чаплыгина (или Сани Чаплыгина).

Конек Чаплыгина – это диск на льду, опирающийся на полукруглое лезвие в своем центр. Связь состоит в том, что скорость центра диска параллельна лезвию.

Пусть - координаты центра диска, - угол поворота диска. - обобщенные координаты. Связь состоит в том, что векторы и параллельны, т.е., что

Утверждение. Указанная связь – неинтегрируемая.

Доказательство. Предположим, что связь приводится к виду . Это означает, что из данного положения можно попасть, не нарушая связи, лишь в положения , удовлетворяющие равенству

Покажем, что в действительности, можно попасть в любое положение, не нарушая связи. Действительно, повернем конек так, чтобы лезвие смотрело в точку плоскости. Затем, продвинем конек по прямой до этой точки. Затем, повернем конек так, чтобы угол стал равен . Доказательство закончено.

Пример 3. Шар, катящийся без проскальзывания по шероховатой плоскости. Связь: точки касания (нижней точки шара) равна нулю.

Задача. Доказать, что связь интегрируемая.

Виртуальные перемещения в случае неинтегрируемых (или непроинтегрированных) связей определяются как удовлетворяющие равенствам

где связь имеет вид (+++).

Проверить, что в случае интегрируемой связи определение совпадает с приведенным выше.

Вопросы к материалу.

• Учение о связях. Голономные связи.

• Конфигурационное пространство. Конфигурационное многообразие.

• Обобщенные координаты. Число степеней свободы системы.

• Склерномные (стационарные) связи.

• Виртуальные перемещения.

• Неголономные связи.

• Конек Чаплыгина.

• Виртуальные перемешения для неинтегрируемых связей.