13 Равновесие точки на поверхности Земли. Вес (Е.И. Кугушев - Лекции)

13-2

Лекция 13

Равновесие точки на поверхности Земли. Вес.

Неподвижную систему координат выбираем так, чтобы угловая скорость Земли смотрела вертикально вверх. Подвижную, связанную с Землей систему выбираем так, чтобы одна ее ось совпадала с вертикальной. В системе координат, связанной с Землей, имеем

(*)

где - остальные силы (если они есть).

,

Вектор лежит в плоскости широты и меридиана. Пусть точка находится в равновесии на поверхности Земли ( ), и - сила реакции опоры или подвеса. Тогда

Весом тела называется , т.е. сила, с которой тело действует на опору или подвес. Заметим, что вес направлен к центру Земли лишь на полюсах и на экваторе.

Ускорением свободного падения называется вес, умноженный на массу тела.

Направление называется местной вертикалью. Угол между местной вертикалью и плоскостью экватора (экваториальной плоскостью) называется астрономической широтой .

Задача. Чему равна - угловая скорость вращения Земли.

Ответ.

Задача. А в секундах?

Падение точки в пустоте.

Предположим, что материальную точку бросают с башни. Т.к. наблюдатель расположен на Земле, пишем уравнения движения в подвижной системе координат: уравнение (*) при . Считаем, что дело происходит в северном полушарии (полушарие от экватора в сторону вектора

Будем считать, что в процессе движения радиус-вектор изменяется несильно, точнее . Тогда, в процессе движения . Имеем:

, , (**)

Это уравнение – линейная неоднородная система. Ее можно решить явно, но мы воспользуемся малостью угловой скорости вращения Земли . Точнее воспользуемся следующим стандартным фактом из теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

• Если правые части системы дифференциальных уравнений удовлетворяют теореме о существовании и единственности решения, и вдобавок гладко зависят от параметра, то и решение гладко зависит от параметра. Более того, если правые части аналитичны по параметру (являются сходящимися рядами Тейлора), то и решения аналитичны.

Раскладываем решение уравнения в ряд по . Направление остается неизменным из-за выбора системы координат. Поскольку в уравнения движения входит , раскладываем по .

Подставляем это в (**) и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :

, ,

,

,

Получаем отсюда

,

,

Единичный вектор направлен на восток по касательной к параллели.

,

Итак

Вывод. В первом приближении имеем смещение точки на Восток. Во втором приближении имеем смещение к Югу.

Опыты Гука обнаружили это.

Задача. Что было бы, если бы Земля вращалась в обратном направлении.

Ответ. Подставим . Первый и третий члены не изменятся, второй поменяет знак. Значит отклонение к новому Востоку (старый Запад) и к новому Северу (старый Юг).

Задача. Что будет в южном полушарии Земли.

Ответ. То же самое (метод – подставить и перевернуть Землю).

Маятник Фуко.

Это маятник (сферический) на вращающейся Земле. Опять пишем уравнения (*). Но здесь сила - это сила натяжения нити подвеса. , где - собственно величина натяжения.

Т.к. и отличаются на постоянный вектор (сдвиг точки подвеса маятника), то уравнение (*) можно записать следующим образом

Замечание. Домножим это уравнение на . Используем то, что и . Интегрируя, получаем интеграл энергии

Однако этот факт нам пока не нужен.

, - вдоль параллели, - вдоль вертикали, - перпендикулярно

Длина нити постоянна и равна , значит

(***)

Разложим угловую скорость по этим осям . Уравнения движения в координатах такие

Линеаризуем эти уравнения, считая, что колебания маятника небольшие, т.е., что и малы. Из (***) получаем, что . Из последнего уравнения в нулевом приближении . Дифференцируя (***) по получаем

т.е. имеет второй порядок малости. Итак, первые два уравнения после линеаризации дадут

,

Напомним, что члены - это гироскопические силы.

Введем комплексную переменную . Тогда уравнения можно записать в комплексном виде

Это линейное однородное дифференциальное уравнение. Как обычно, ищем решение в виде . Подставив в уравнение и сократив на , получим характеристическое уравнение

Решив, получим

, где

Решение можно представить в виде

Пусть и

- отклонили и отпустили. Тогда решение следующее

В силу малости , второе слагаемое мало – почти ноль. Следовательно колебания происходят почти в вертикальной плоскости, которая медленно(со скоростью ) вращается вокруг вертикали.

Вопросы к материалу.

• Равновесие точки на поверхности Земли. Вес.

• Ускорение свободного падения. Местная вертикаль. Астрономическая широта.

• Падение точки в пустоте (у поверхности Земли).

• Маятник Фуко.