12 Силы инерции (Е.И. Кугушев - Лекции)

12-2

Лекция 12

Силы инерции.

Предположим, нам захотелось написать уравнения движения в подвижной, неинерциальной системе отсчета. Ускорение, которое мы видим в этой системе – относительное. Будем действовать так:

- переносная сила инерции,

- кориолисова сила инерции.

Применим эту конструкцию к ограниченной задаче трех тел.

Ограниченная задача трех тел.

Рассмотрим движение Солнца (S), Юпитера (J) и астероида (A). Масса астероида мала по сравнению с массами Солнца и Юпитера . Силы притяжения к астероиду малы. Можно считать, что Солнце и Юпитер движутся как в задаче двух тел. Их движение известно. А астероид движется в поле сил создаваемых Юпитером и Солнцем. В этом и есть ограниченность постановки задачи.

Уравнения движения в полном виде такие:

Устремляем к нулю. Для Солнца и Юпитера получаем задачу двух тел (астероид не влияет на Солнце и Юпитер) – в первых двух уравнениях отбрасываем вторые слагаемые. Третье уравнение не вырождается – в нем просто сокращается.

Плоская, ограниченная, круговая задача трех тел.

Рассмотрим плоскую ограниченную круговую задачу трех тел.

Ограниченная: - движение астероида не влияет на движение Солнца (S) и Юпитера (J).

Плоская: движение всех трех тел происходит в фиксированной плоскости.

Круговая: орбиты Солнца (S) и Юпитера (J) – окружности.

Пусть - центр масс пары тел - Солнца Юпитера. Пусть - угловая скорость вращения и по орбитам. Тогда сила тяготения уравновешивает центробежную силу

,

Сократим на массы и сложим эти равенства. Тогда

(****)

Уравнения движения Астероида удобно писать в подвижной системе координат с центром в (центр тяжести) и вращающейся с угловой скоростью . Тогда ось можно направить по линии, соединяющей и . В этой системе координат они неподвижны. Для определенности направим ее от Солца к Юпитеру. Пусть - радиус-вектор Астероида в этой системе.

,

,

, где

,

В координатах, после сокращения на получим

,

Заметим, что переносная сила инерции оказалась потенциальной. Потенциал равен .

Домножим первое уравнение на , а второе на , сложим и проинтегрируем. Мы получаем интеграл Якоби, который является аналогом интеграла энергии

,

- приведенная (или эффективная) потенциальная энергия. Уравнения движения можно теперь записать так:

, (*)

Заметим, что кориолисова сила инерции не влияет на вид интеграла Якоби . Силы такого типа называются гироскопическими.

Относительные равновесия. Это движения имеющие вид .

Утверждения. Точка является положением относительного равновесия тогда и только тогда, когда она является критической точкой приведенного потенциала (т.е. в этой точке ).

Доказательство. Сразу следует из уравнений движения (*).

Поскольку

то уравнения для относительного равновесия такие:

Имеем два случая

а) Тогда

График правой части выглядит следующим образом:

В левой части стоит линейная возрастающая функция. Значит имеется три решения , , . Это т.н. “коллинеарные точки либрации”. Их нашел Эйлер в 1765 г. Все они неустойчивы в том смысле, что при малом отклонении начальных условий от этих точек траектория может уйти достаточно далеко.

б) . Сократив второе уравнение на , найдем

(**)

Подставим его в первое уравнение. Тогда в первом уравнении все члены пропорциональные взаимно уничтожаются, и мы получаем

(***)

Центр тяжести и находится в начале координат. Поэтому . Значит знаменатели равны, т.е. . Отсюда получаем

, или

Первое уравнение не имеет решений, т.к. , . Из второго уравнения получаем

Обозначим знаменатели в (**) через (в положении равновесия они равны):

Поэтому из (**) и из (****) получаем

,

Значит . Следовательно , , и расположены в вершинах равностороннего треугольника. Это нашел Лагранж в 1772 г.

Точки и устойчивы (при достаточно малых отношениях ) – это будет доказано позже.

Сначала эти решения воспринимались как “математический курьез”. Но в 1906 г. около был обнаружен астероид Ахиллес, а затем около и были найдены еще несколько астероидов. Этим группам астероидов присвоены названия “Греки” (Ахейцы) и “Троянцы”.

Области Хилла. (см Л. Парс Аналитическая динамика)

ОВД в ограниченной задаче трех тел называются областями Хилла. Интеграл Якоби дает следующее соотношение

Будем изменять от в сторону возрастания . Получаются следующие картинки для ОВД. Заштрихована запрещенная область.

Вопросы к материалу.

• Силы инерции.

• Ограниченная задача трех тел.

• Плоская ограниченная круговая задача трех тел.

• Уравнения движения. Интеграл Якоби.

• Относительные положения равновесия.

• Коллинеарные точки либрации Эйлера.

• Точки либрации Лагранжа.

• Области Хилла.