10 Задача Кеплера и вывод законов Кеплера из закона всемирного притяжения (Е.И. Кугушев - Лекции)

10-3

Лекция 10

Задача Кеплера и вывод законов Кеплера из закона всемирного притяжения.

Задача Кплера. Это задача движения материальной точки в гравитационном поле сил с неподвижным притягивающим центром.

Напоминание.

1. Мы уже рассматривали три закона Кеплера для движения планет вокруг солнца.

2. Из низ следует формула для гравитационной притягивающей силы . Теперь рассмотрим задачу о движении материальной точки под действием этой силы. Это и есть задача Кеплера.

3. Из теоремы об изменении кинетического момента следует, что при движении точки под действием любой центральной силы (и, в частности ) а) орбиты плоские, б) имеется интеграл площадей .

Отсюда вытекает первый закон Кеплера: II. Радиус-векторы планет (проведенные из солнечного фокуса) за равные промежутки времени заметают равные площади.

4. Потенциальная энергия силы равна .

При решении уравнений движения точки в поле сил используются две идеи:

– Переход к новым координатам – полярным в плоскости орбиты.

– Переход к новой независимой переменной: .

В полярных координатах имеем уравнения

( )

Из второго уравнения следует интеграл площадей . Воспользовавшись этим и доказанной леммой о том, что , первое равенство переписываем в виде

Полагая , получаем

Это линейное неоднородное уравнение. Частное решение . Общее решение

, ,

- эксцентриситет. Введем - фокальный параметр. Итак

Из аналитической геометрии знаем, что это уравнение конического сечения (кривой второго порядка на плоскости)

- эллипс ( - окружность)

- парабола

- гипербола

Отсюда вытекает первый закон Кеплера: I. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце, точнее, его центр.

Итак, первые два закона Кеплера получены.

Получим третий закон Кеплера: III. Отношение кубов больших полуосей орбит к квадратам периодов обращения планет является постоянной величиной, не зависящей от выбора планеты.

Используем еще один факт из аналитической геометрии:

для эллипса , где - большая, - малая полуоси эллипса.

Идея вывода (на всякий случай). Например такая. Заменой добиваемся . Тогда

- это суммарное расстояние до фокусов, которое неизменно

- для верхней точки эллипса половина расстояния – это длина гипотенузы.

Продолжим. Напомним, что секторная скорость равна . За период радиус вектор заметет весь эллипс. Приравниваем площади

что и требовалось доказать, т.к. не зависит от планеты.

Первые интегралы задачи Кеплера.

1. Площадей: .

2. Энергии: , где . После простых преобразований получаем

Функция называется эффективным потенциалом задачи Кеплера. В дальнейшем мы будем пользоваться приведенной константой и записывать интеграл энергии в виде

3. Интеграл Лапласа-Рунге-Ленца. (Чаще всего называется просто интегралом Лапласа).

(напоминаем, что - кинетический момент).

Задача.

а) Проверить, что это интеграл.

б) Проверить, что параллелен плоскости движения.

в) Проверить, что является комбинацией интегралов энергии и площадей.

Решение.

а) Воспользуемся тем, что кинетический момент сохраняется и тем, что мы знаем уравнения движения .

и

Вычитая одно из другого, получим ноль. Это доказывает а).

б) и лежат в плоскости движения. Поэтому ортогонален плоскости движения. Значит снова лежит в плоскости движения. Пункт б) доказан.

в) Напомним, что константа интеграла площадей равна модулю кинетического момента деленному на массу: . Поскольку вектор ортогонален и , то

и

Значит

Это доказывает в).

Пусть - плоскость орбиты. Поскольку - не меняется со временем, то угол между и фиксированным направлением на плоскости орбиты постоянен.

В эллиптическом случае, точка орбиты, ближайшая к фокусу называется перигелием (перицентром, перигеем), а наиболее удаленная – апогелием (апоцентром, апогеем).

Утверждение.(Лаплас) В эллиптическом движении Вектор Лапласа направлен вдоль большой полуоси эллипса орбиты в сторону от фокуса к перицентру.

Доказательство. Очевидно, в перицентре и апоцентре скорость и радиус-вектор взаимно оргтогональны , т.к. достигает экстремума по . Значит в этих точках имеем

т.е. ортогонален , и, значит, параллелен . Осталось определить ориентацию.

(*)

В перицентре меньше, значит эта величина больше, чем в апоцентре, значит вектор направлен на перицентр. Доказательство закончено.

Оказывается, интегралы площадей, энергии и функционально независимы почти везде в фазовом пространстве . Их совместные уровни – одномерные. Это и есть фазовые кривые.

Выражение параметров орбиты через постоянные первых интегралов.

Утверждение. (для эллиптической орбиты)

а) , б) , в) , г)

Доказательство. а) и г) уже доказали.

б) Из (*) , значит

т.е. (это снова а)) и . Мы уже получили, что . Деля это на , получим б)

в) ,

Практическое замечание. При измерении параметров орбиты, например, астероидов мы не знаем массу , но по измерениям скорости и положения мы определяем и . Величину мы измеряем отдельно – это константа. Это дает возможность определять параметры орбиты астероидов и других небесных тел. Знание массы здесь не нужно.

Следствие. Не только период, но и большая полуось орбиты зависят только от энергии.

Тип орбиты тоже зависит только от энергии (от ее знака):

- гипербола, - парабола, - эллипс

Бифуркационная диграма типов орбит.

Строим ее на плоскости ( ). Бифуркационная диаграмма – это области на этой плоскости, которым отвечают одинаковые областей возможного движения. Она строится путем анализа неравенства следующего из интеграла энергии

и неравенства

Уравнение

Дискриминант , корни ОВД: ,

Задача. Построить бифуркационную диаграмму и объяснить ее!!!

Итак.

Через выражается большая полуось

Через и - эксцентриситет

Через - направление на перицентр (перигелий).

Вопросы к материалу.

• Что такое задача Кеплера.

• Вывод законов Кеплера из уравнений движения.

• Эффективный потенциал в задаче Кеплера.

• Интеграл Лпласа-Рунге-Ленца и его свойства. Теорема Лапласа.

• Выражение параметров орбиты через постоянные первых интегралов.

• Бифуркационная диаграмма для задачи Кеплера.