CM_FAQ7 (2) (Шпоры)

FAQ: Численные Методы, часть VII

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем

28. Примеры численных методов решения задачи Коши для уравнения . Погрешность аппроксимации 2-х этапного метода Рунге-Кутта.

См. [8, стр. 214].

Будем рассматривать задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

, t > 0, (28.1)

с начальным условием u(0) = u₀.

Метод Эйлера, соответствующий разностной схеме

, (28.2)

является явным и имеет только первый порядок аппроксимации.

Метод, основанный на симметричной схеме:

, (28.3)

является неявным (т.к. приводит к решению нелинейного уравнения) и имеет второй порядок точности.

Метод Рунге-Кутта второго порядка является явным и состоит в следующем. Пусть значение сеточной функции вычислено в точке n. Вычислим величины

k₁ = f(t_n ,y_n) , k₂ = f(t_n +0.5t, y_n+0.5tk₁), (28.4)

а затем найдем y_n+1 из уравнения

(28.5).

Утверждение 28.1. Метод Рунге-Кутта (28.4,5) имеет второй порядок аппроксимации.

29. Общая формулировка m-этапного метода Рунге-Кутта. Оценка точности 2-х этапного метода Рунге-Кутта.

См. [8, стр. 218].

Явный m-этапный метод Рунге-Кутта состоит в следующем. Пусть значение y_n = y(t_n) уже известно. Задаются числовые коэффициенты a_i, b_ij, s_i и последовательно вычисляются величины

k₁ = f(t_n ,y_n),

k₂ = f(t_n+a₂t, y_n+b₂₁tk₁),

k₃ = f(t_n+a₃t, y_n+b₃₁tk₁+ b₃₂tk₂),

...

k_m = f(t_n+a_mt, y_n+b_m1tk₁+ b_m2tk₂+...+ b_m,m-1tk_m-1). (29.1)

Затем из формулы

(29.2).

находится значение y_n+1 = y(t_n+1).

Коэффициенты a_i, b_ij, s_i выбираются из соображений точности. Для того, чтобы уравнение (29.2) аппроксимировало исходное уравнение (28.1), необходимо потребовать

. (29.3)

При m=1 получается метод Эйлера (28.2). При m=2 получаем семейство методов

k₁ = f(t_n ,y_n),

k₂ = f(t_n + a₂t, y_n + b₂₁tk₁),

y_n+1 = y_n + t(s₁k₂ + s₂k₂). (29.4)

В частности, при s₁=0, s₂=1, a₂ = b₂₁ = 0.5, получим метод (28.5).

Утверждение 29.1. При выполнении условия (29.3) методы (29.4) имеют первый порядок аппроксимации, а если дополнительно потребовать s₁a₂ + s₂a₂ = 0.5, то получим методы второго порядка аппроксимации.

Утверждение 29.2. Если данный метод Рунге-Кутта аппроксимируют исходное уравнение, то он сходится, причем порядок его точности совпадает с порядком аппроксимации. Таким образом, двухэтапный метод Рунге-Кутта (28.5) имеет второй порядок точности.

30. Многошаговые разностные методы. Погрешность аппроксимации. Понятие устойчивости.

См. [8, стр. 230].

Линейным m-шаговым методом для решения задачи Коши (28.1) называется система разностных уравнений

, (30.1)

где a­_k и b_k ­- числовые коэффициенты, не зависящие от n. Так как эти коэффициенты определены с точностью до постоянного множителя, потребуем дополнительно, чтобы

. (30.2)

Расчет по схеме (30.1) начинается с n=m. Значение y₀ определено начальным условием, а значения y₁, ..., y_m-1 можно получить, например, с помощью метода Рунге-Кутта (28.5). Метод (30.1) называется явным, если b₀=0, т.е. величина y_n явным образом выражается через величины y_n-m,...,y_n-1. В противном случае этот метод называется неявным, и на каждом шаге приходится решать нелинейное уравнение.

Частным случаем семейства методов (30.1) являются методы Адамса, где производная аппроксимируется только по двум точкам:

, (30.3)

Утверждение 30.1. Порядок аппроксимации линейных m-шаговых методов (30.1) не может превосходить 2m.

31. Жёсткие системы дифференциальных уравнений.

См. [8, стр. 249].

Пусть u=(u₁,u₂,...,u_m) - вектор из m неизвестных функций от времени, А - квадратная матрица порядка m, l_k - ее собственные числа . Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

(31.1)

называется жесткой с числом жесткости s, если

1) система асимптотически устойчива по Ляпунову, т.е. Re l_k<0 для всех k.

2) отношение

(31.2)

достаточно велико.

Решение жесткой системы содержит как медленно убывающие, так и быстро убывающие составляюшие. Начиная с некоторого момента t, решение системы почти полностью определяется медленнно убывающей составляющей; однако при использовании явных разностных методов быстро убывающая составляющая отрицательно влияет на устойчивость, что вынуждает брать шаг интегрирования t слишком мелким. Выход из этой ситуации найден в применении неявных абсолютно устойчивых разностных методов.

Свойства различных разностных методов решения жестких систем обычно моделируют на основе уравнения

, (31.3)

где величина l пробегает все собственные значения матрицы А.

Областью устойчивости разностного метода называется множество M всех точек комплексной плоскости m=tl таких, что метод устойчив при данных значениях t и l. Разностный метод будем называть А-устойчивым, если область его устойчивости содержит левую полуплоскость {Re m > 0}. Разностный метод называется А(a)-устойчивым, если область его устойчивости содержит угол

|arg(-m)|<a.

Утверждение 31.1. Среди явных линейных многошаговых методов не существует А-устойчивых. Среди неявных линейных многошаговых методов не существует А-устойчивых порядка точности выше второго.

32. Примеры разностных схем для интегрирования жёстких систем дифференциальных уравнений.

См. [8, стр. 255].

Чисто неявные линейные методы имеют следующий общий вид:

, (32.2)

где параметры a_k подбираются из соображений нужного порядка аппроксимации.

При m=1 получаем неявный метод Эйлера.

При m=2 и m=3 получаем методы соответственно второго и третьего порядка точности:

, (32.3)

. (32.4)

Óòâåðæäåíèå 32.1. Ìåòîä (32.3) ÿâëÿåòñÿ À-óñòîé÷èâûì.