CM_FAQ6 (Шпоры)

1. FAQ: Численные Методы, часть VI

2. Разностные схемы

3. 22. Явная разностная схема для первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Сходимость, точность.

См. [8, стр. 272]

Будем рассматривать первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами в области G={0<x<1,0<tЈT}:

, (22.1)

со следующими начальным и граничными условиями:

u(x,0) = u₀(x) , (22.2)

u(0,t) = m₁(t), u(1,t) = m₂(t). (22.3)

Определим равномерную сетку w_ht с шагом h по пространственной перменной и шагом t по временной переменной. Для сеточной функции y(x,t) введем обозначение y_iⁿ=y(x_i,t_n), где i = 0...N (hN = 1), n = 0...K (Kt=T). Правую часть заменим приближенно сеточной функцией j_iⁿ.

Явная разностная схема для уравнения (22.1) будет выглядеть следующим образом:

. (22.4)

Уравнение (22.4) решается по слоям, соответствующим моментам времени. Если решение найдено на слое n, то решение на слое n+1 вычисляется по явной формуле.

Утверждение 22.1. Схема (22.4) устойчива только при условии

. (22.5)

1. 23. Чисто неявная схема для первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Сходимость, точность.

Чисто неявной схемой для уравнения (22.1) называется схема вида

. (23.1)

Данная схема также решается послойно; и на каждом (n+1)-ом слое приводит к трехдиагональной системе с количеством неизвестных (N - 1).

Утверждение 23.1. Схема (23.1) абсолютно устойчива.

Утверждение 23.2. Схема (23.1) имеет первый порядок аппроксимации как по t и второй порядок а по h, если только j_iⁿ = f(x_i,t_n+1)+O(t+h²).

1. 24. Симметричная разностная схема . Сходимость, точность.

Шеститочечной симметричной схемой для уравнения (22.1) называется схема вида

. (24.1)

Данную схему также можно решать методом прогонки.

Утверждение 24.2. Схема (24.1) имеет второй порядок аппроксимации как по t, так и по h, если только j_iⁿ = f(x_i,t_n+0.5t)+O(t²+h²).

1. 25.Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, сходимость, устойчивость.

См. [1, стр. 60], [8, cтр. 286].

Для того, чтобы написать разностную схему, приближенно описывающую данное дифференциальное уравнение, нужно совершить следующие три шага:

1. Заменить область непрерывного изменения аргумента областью его дискретного изменения (сеткой).

2. Заменить дифференциальный оператор некоторым разностным оператором.

3. Сформулировать разностный аналог для краевых условий и для начальных данных.

Сетка - это некототорое конечное множество точек (узлов сетки), находящихся в области изменения аргумента. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией.

В простейшем случае определяется равномерная сетка, где узлы отстоят друг от друга на фиксированны шаг h (в двухмерном случае возможны различные значения шагов h и t по пространственной и временной координатам). Через w_h будем обозначать равномерную сетку с шагом h, через B_h - пространство функций, определенных на такой сетке. Через B₀ обозначим пространство функций непрерывного аргумента. Отображение p_h вида B₀®B_h, служащее для сравнения сеточных функций с обычными, называется оператором проектирования. В пространствах B₀ и B_h выбираются какие-либо нормы (обычно, индуцированные скалярным произведением). Эти нормы называются согласованными, если для любой функци uОB₀ выполняется условие

. (25.1)

Утверждение 25.1. Требование согласованности норм обеспечивает единственность предела сеточных функций при |h|®0.

Пусть исходная дифференциальная задача имеет вид

Lu(x) = f(x), (x О G Н R^m), (25.2)

а соответствующая ей разностная задача на равномерной сетке имеет вид

L_hy_h(x) = j_h(x). (x О w_h), (25.3)

где j_h(x) = p_hf(x), а L_h - разностный аналог оператора L.

Пусть u(x) и y_h(x) - соответственно решения дифференциальной и разностной задач. Сеточная функция

z_h(x) = y_h(x) - p_hu(x) (25.4)

называется погрешностью разностной схемы (25.3).

Очевидно, что погрешность z_h(x) удовлетворяет уравнению

L_h(x)z_h(x) = y_h(x) , (25.5)

где y_h(x) = j_h(x) - L_hu_h(x). Сеточная функция y_h(x) называется погрешностью аппроксимации разностной задачи на решении исходной дифференциальной задачи. Эту погрешность можно представить в виде

y_h(x) = y_h,1(x)+y_h,2(x), (25.6)

где величины

y_h,1(x) = (Lu)_h(x) - L_hu_h(x) и y_h,2(x) = j_h(x) - f_h(x) (25.7)

называются соответсвенно погрешностью аппроксимации разностного оператора и погрешностью аппроксимации правой части.

Говорят, что разностная задача (25.3) аппроксимирует исходную задачу (25.2), если ||y_h(x)||_h®0 при |h|®0. Говорят, что схема (25.3) имеет k-й порядок аппроксимации, если существуют положительные постоянные k и M₁ (не зависящие от h), такие, что

||y_h||_h Ј M₁|h|^k. (25.8)

Разностная схема (25.3) называется устойчивой (безотносительно к аппроксимации уравнения (25.2)), если существует постоянная M₂ (не зависящая от h), такая, что

||y_h||_h Ј M₂||j_h||. (25.9)

Схема называется условно устойчивой, если она устойчива только при определенном ограничении на соотношении шагов по x и t.

Разностная схема называется корректной, если 1) ее решение y_h существует и единственно и 2) она устойчива.

Говорят, что решение разностной задачи (25.3) сходится к решению дифференциальной задачи, если ||y_h­ - p_hu||_h­®0 при |h|®0.

Разностная схема имеет k-й порядок точности, если если существуют положительные постоянные k и M₃ (не зависящие от h), такие, что

||y_h­ - p_hu||_h­ Ј M₃|h|^k. (25.10)

Теорема 25.2. Пусть дифференциальная задача поставлена корректно, разностная схема является корректной и аппроксимирует исходную задачу. Тогда решение разностной задачи сходится к решению исходной задачи, причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

1. 26. Сходимость разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

См. [1, стр. 211], [8, стр. 291].

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона: требуется найти непрерывную в G’=G+Г функцию u(x₁,x₂), удовлетворяющую в области G уравнению

, (26.1)

а на ее границе Г условию

u(x) = m(x). (26.2)

Предположим, что G - прямоугольник вида {0<x₁<l₁, 0<x₂<l₂}, а функции f и m таковы, что решение задачи (26.1,2) существует, единственно и является гладкой функцией.

Введем в G’ прямоугольную сетку w( h₁,h₂) с шагами h₁ и h₂, такими, что l₁=h₁N₁ и l₂=h₂N₂. Введем обозначения xⁱ₁ = ih₁ , x^j₂ = jh₂, y_ij = y(xⁱ₁, x^j₂).

Разностную схему для уравнения (26.1) удобно записать в каноническом виде, разрешенном относительно y_ij :

. (26.3)

Теорема 26.1. Если решение дифференциальной задачи Дирихле имеет в замкнутой области G’ непрерывные проивзодные до 4-го порядка включительно, то разностная схема (26.3) сходится и имеет второй порядок точности.

1. 27. Методы решения сеточных уравнений разностной задачи Дирихле.

См. [1, стр. 516],[8, стр. 337, стр. 379].

Сеточное уравнение (26.3) приводит к сильно разреженной, симметричной и плохо обусловленной системе линейных уравнений. Для его решения можно использовать самые различные методы:

1. Прямые методы (метод Гаусса).

2. Простейшие явные итерационные методы (Якоби, Зейделя).

3. Метод верхней релаксации со специально подобранными параметрами.

4. Чебышевский метод.

5. Попеременно-треугольные итерационные методы.

6. Метод матричной прогонки.

7. Метод, основанный на быстром преобразовании Фурье.