CM_FAQ4 (Шпоры)
Описание файла
Файл "CM_FAQ4" внутри архива находится в папке "Шпоры". Документ из архива "Шпоры", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "численные методы" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "CM_FAQ4"
Текст из документа "CM_FAQ4"
FAQ: Численные Методы, часть IV
Нелинейные уравнения
14. Метод простой итерации решения нелинейных уравнений. Сходимость метода.
См. [8, стр. 190]
Пусть задана функция f(x) действительного переменного. Требуется найти нули этой функции или корни уравнения
f(x) = 0. (14.1)
Метод простой итерации состоит в том, что уравнение (1) заменяется эквивалентным уравнением
x = s(x), (14.2)
задается начальное приближение x0 и итерации проводятся по правилу
xk+1=s(xk). (14.3)
Для сходимости процесса (14.3) большое значение имеет выбор функции s(x). Эту функцию можно задавать различными способами, ооднако обычно она берется в виде
s(x) = x+t(x)f(x), (14.4)
причем функция t(x) знакопостоянна на отрезке, где отыскивается корень. В частности, если t(x)=t=const, то получим метод релаксации.
Теорема 14.1. Если функция s(x) на отрезке Ur(a) удовлетворяет условию Липшица с константой qÎ(0;1), причем
|s(a) - a| £ (1 - q)r, (14.5)
то уравнение (14.2) имеет на этом отрезке единственное решение x* , и метод простой итерации (14.3) сходится к x* при любом начальном приближении x0Î Ur(a). Для погрешности справедлива оценка
|xk - x*| £ qk| x0 - x*|. (14.6)
Утверждение 14.2. Если на всем отрезке Ur(a) выполнено условие
|s’(x)| £q<1
и начальное приближение выбирается из этого отрезка, то решение (14.2) на этом отрезке единственно, метод (14.3) сходится и справедлива оценка (14.6).
15. Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений. Метод секущих.
См. [8, стр. 199].
В методе Ньютона (или касательных) итерации проводятся по следующему правилу:
Метод секущих получается из метода Ньютона заменой производной на разделенную разность, вычисляемую по значениям xk и xk-1. В этом методе необходимо задать два начальных приближения.
Пусть F=(f1,...,fm) - система функций от m переменных. Будем решать нелинейную систему уравнений вида
F(x) = 0 (15.2).
Метод Ньютона для системы (15.2) можно записать в виде:
16. Сходимость метода Ньютона для решения нелинейных уравнений.
Утверждение 16.1. Пусть f’(x)¹0 в некоторой окрестности корня Ur(x*), а вторая производная f(x) непрерывна в этой окрестности. Если
причем
то метод Ньютона сходится, причем для погрешности справедлива оценка
|xk+1 - x*| £ q2k+1| x0 - x*|. (16.3)