Список вопросов и задач

I. Сходимость случайных последовательностей

1. Показать, что из при следует, что при .

2. Пусть - константа, и . Показать, что в таком случае .

3. Пусть . Покажите, что последовательность фундаментальна, (по вероятности). (Предварительно дайте определение фундаментальной последовательности).

4. Пусть - непрерывная функция, . Покажите, что

5. Пусть , , причем все эти величины заданы на одном пространстве

элементарных исходов. Покажите, что а) ; b)

6. Пусть , где - число успехов в испытаниях Бернулли, где - вероятность успеха в единичном испытании, . Показать, что последовательность не имеет предела (в смысле сходимости по вероятности).

7. Пусть - целочисленные случайные величины. Покажите, что тогда и

только тогда, когда для любого .

II. Статистические модели

1. Предположим, что время работы до его отказа (поломки) распределено по показательному закону: , где - параметр.

Построить статистические модели (т.е. указать выборочные пространства и распределения на этих пространствах) для следующих экспериментов (эти испытания проводят ради определения неизвестного ):

а) испытывают приборов - до отказа их всех;

b) испытывают приборов в течение времени ,

с) испытывают приборов до появления заданного числа отказов.

2. В условиях предыдущей задачи пусть суть последовательные моменты отказов (при испытании приборов). Покажите, что случайные величины независимы и распределены по показательным законам (укажите, каковы параметры этих законов).

3. Рассмотрим партию из однородных изделий. Неизвестное число из этих изделий имеют дефекты. Чтобы оценить , извлекают наудачу изделий .

а) Предложите статистическую модель.

b) Пусть - число дефектных изделий в выборке объема . Вычислите .

с) Предложите другие планы эксперимента (ради оценивания ).

4. Пусть случайные величины независимы и распределены по показательному

закону с параметром . Найти плотность распределения

а) ;

b) .

5. Используя результаты предыдущей задачи, выведите формулу свертки для плотностей Г-распределений (гамма-распределений). Попутно покажите, что (здесь Г и - гамма- и бета-функции Эйлера).

6. Выведите формулу для плотности (центрального) распределения (хи-квадрат), с степенями свободы.

III. Неравенства Крамера - Рао

1. Выведите неравенство Крамера - Рао для семейства дискретных распределений.

2. Покажите, что частота является эффективной оценкой вероятности успеха в испытаниях Бернулли.

3. Пусть - выборка из показательного распределения с параметром . (Это значит, что плотность случайной величины равна ). Покажите, что - эффективная оценка .

4. В условиях предыдущей задачи рассмотрите для другую оценку, например, полученную таким моментным методом: . Для этой оценки составьте неравенство Крамера - Рао.

5. Примените многомерное неравенство Крамера - Рао к паре , как оценке по выборке из .

6. Пусть случайная величина , где - постоянная, случайная величина имеет плотность , причем существует. Найти .

7. Пусть - выборка из распределения Пуассона с параметром . Пусть . Покажите, что .

IV. Условное математическое ожидание

1. Дайте пример, когда , но случайные величины и не независимы.

2.Условной дисперсией относительно -алгебры называют - по аналогии с обычным определением дисперсии. Покажите, что

3. Пусть и - независимые случайные величины, причем - одинаково распределены, а принимает только натуральные значения. Введем . Показать, что

4. Пусть - случайные величины. Показать, что достигается при .

5. Пусть - случайная величина, распределенная по закону Пуассона. Проводится испытаний Бернулли, вероятность успеха в которых постоянна, и не зависит от . Пусть - число успехов, - число неудач.

а) Показать, что и - независимы.

b) Найти .

V. Достаточные статистики, несмещенные оценки

1. Пусть - выборка из распределения Пуассона с параметром . Покажите, что статистика - достаточна для

а) вычислив условное распределение при данном ;

b) применив теорему факторизации.

Покажите, что - полная достаточная статистика.

2. Из равномерного распределения на отрезке , извлечена выборка .

а) Применив теорему факторизации, убедитесь, что - достаточная статистика для .

б) Найдите условное распределение при данном .

с) Покажите, что - полная достаточная статистика..

3. Укажите достаточную статистику для пары по выборке из .

4. Пусть - случайный вектор (столбец), , где - заданная невырожденная матрица; вектор и скаляр - неизвестны (суть параметры распределения ).

а) Покажите, что - положительно определенная матрица;

b) укажите для достаточные статистики когда

b1) единичная матрица; b2) - произвольна.

5. Пусть - выборка из показательного распределения с параметром .

а) Покажите, что - полная достаточная статистика, для .

b) Найдите наилучшую несмещенную оценку для по правилу , предварительно убедившись, что .

с) Пусть - порядковые статистики указанной выше выборки. Предположим, что наблюдаем лишь r первых порядковых статистик: . Укажите в этих условиях достаточную статистику для и несмещенную оценку .

VI. Наилучшие несмещенные оценки.

1. Пусть - выборка, . Покажите, что - несмещенная оценка .

2. Как оценить по выборке из ?

а) Покажите, что можно подобрать независящие от множители так, чтобы

несмещенно оценивали .

b) Какая из двух оценок предпочтительнее (точнее)?

3. Пусть - выборка из распределения Пуассона. Найдите наилучшую несмещенную оценку для Р(Х = m), где m - задано

а) в случае n = 1,

b) в общем случае.

4. Рассмотрим n испытаний Бернулли, вероятность успеха в которых обозначим через - неизвестный параметр.

а) Покажите, что число успехов есть полная достаточная статистика.

b) Найдите наилучшую несмещенную оценку для .

с) Покажите, что для не существует несмещенной оценки.

d) Какие функции от можно оценить несмещенно?

5. Пусть - выборка из показательного распределения с параметром > 0. Найдите наилучшую несмещенную оценку для функции распределения .

VII. Линейные гауссовские модели, оценки наименьших квадратов.

1. Пусть суть результаты независимых измерений углов треугольника. А, В и С:

.

Укажите для А, В и С оценки более точные, чем .

2. Пусть , где - заданная диагональная матрица, и неизвестные параметры, причем , L - заданное линейное подпространство. Покажите, что наилучшую несмещенную оценку для l нужно искать по правилу

.

3. Пусть , причем , L - задано. Пусть M некоторое линейное подпространство, более широкое, нежели L: . Рассмотрим для две оценки:

и .

Какая из этих двух несмещенных оценок точнее?

4. Простая линейная регрессия.

Наблюдаем случайные величины , где

,

причем - заданы, суть независимые -величины.

а) Почему предпочтительнее модель

?

b) Найти для a, b наилучшие несмещенные оценки .

с) Указать их распределения, и показать, что а и b независимы (как случайные величины).

5. Оценки наименьших модулей.

а) Пусть - случайная величина. Показать, что решением экстремальной задачи служит медиана случайной величины, т.е. такое число, что . (Считаем, что функция распределения такова, что ).

b) Пусть - выборка. Покажите, что .

6. Двухфакторная модель, одно наблюдение в клетке.

Наблюдаемы случайные величины , где , причем для некоторых неизвестных таких, что -независимые в совокупности величины, - неизвестно.

а) Доказать тождество

в предположении, что .

б) Показать, что описанная выше двухфакторная модель идентифицируема, т.е., что

решение системы уравнений относительно

существует и единственно для заданных чисел

с) Найти для неизвестных оценки наименьших квадратов (они же

наилучшие несмещенные оценки).

7. Пусть и - две независимые выборки из и соответственно. Найти для

а) достаточные статистики;

b) наилучшие несмещенные оценки:

с) оценки наибольшего правдоподобия.

8. Каждый из углов треугольника был измерен дважды (измерен раз). Примем

статистическую модель: результаты измерений суть независимые случайные величины, отличающиеся от истинных значений за счет случайных слагаемых (случайных ошибок) вида - неизвестно. Предложите статистическое правило для проверки утверждения евклидовой геометрии, что А + В+ С = .