Примеры исследования сходимости несобственных интегралов

Примеры исследования сходимости несобственных интегралов

методическое пособие, 1 курс ф-т ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова

Краткие теоретические сведения

Опр Пусть функция f(x) интегрируема в собственном смысле на любом отрезке [a,b] [a,). Тогда выражение , если оно существует и конечно, называется несобственным интегралом 1 рода.

Опр Пусть функция f(x) интегрируема в собственном смысле на любом отрезке [a,b-] [a,b]. Тогда выражение , если оно существует и конечно, называется несобственным интегралом 2 рода.

Для исследования сходимости несобственных интегралов можно использовать следующие теоремы.

Критерий Коши

Пусть - несобственный интеграл первого рода, сходится тогда и только тогда, когда для .

Признаки сравнения

1 Признак Пусть функции f(x) и g(x) определены на [a,) и таковы, что f(x)g(x), тогда

а) из сходимости несобственного интеграла следует сходимость несобственного интеграла .

б) из расходимости несобственного интеграла следует расходимость несобственного интеграла .

2 Признак Пусть функции f(x) и g(x) определены на [a,) и таковы, что , тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Признак Дирихле-Абеля Пусть функции f(x) и g(x) определены на [a,), функция f(x) имеет ограниченную первообразную на этом множестве, функция g(x) монотонно стремится к нулю при x стремящемся к бесконечности. Тогда несобственный интеграл сходится.

Замечание. Признак Дирихле-Абеля дает только достаточные условия сходимости.

Примеры исследования несобственных интегралов на сходимость

Пример 1 Исследовать на сходимость . Вычислим интеграл по определению: .

Таким образом, данный интеграл сходится при >1 и расходится при 1.

Пример 2 Исследовать на сходимость . Вычислим интеграл по определению: .

Таким образом, данный интеграл сходится при <1 и расходится при 1.

Пример 3 Исследовать на сходимость .

Подынтегральная функция может быть бесконечно большой ( если m<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два

.

Сходимость первого интеграла I₁ исследуем с помощью эквивалентной функции: ( т.к. n>0), а интеграл сходится при m>-1 (пример 2). Аналогично, для интеграла I₂ :

, а интеграл сходится при m+n<-1 (пример2). Следовательно, исходный интеграл сходится при выполнении одновременно двух условий m>-1 и m+n<-1, и будет расходится при нарушении хотя бы одного из них.

Пример 4 Исследовать на сходимость .

Подынтегральная функция может быть бесконечно большой ( если m<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два:

.

Так как arctgx x при x0, то интеграл I₁ эквивалентен интегралу , который сходится при m+1>-1 т.е. при m>-2 (пример1).

Для подынтегральная функции в несобственном интеграле первого рода I₂ подберем эквивалентную:

т.к. arctgx  /2 при x . Следовательно, по второму признаку сравнения интеграл I₂ будет сходится при m+n<-1, и расходится в противном случае.

Объединяя условия сходимости интегралов I₁ и I₂ получим условия сходимости исходного интеграла: m>-2 и m+n<-1 одновременно.

Замечание. В примерах 2-4 использовался 2 признак сравнения, который обеспечивает необходимые и достаточные условия сходимости, что позволяет, установив сходимость при некотором условии на значения параметров, не доказывать расходимость интеграла при нарушении полученных условий сходимости.

Пример 5 Исследовать на сходимость .

Данный интеграл содержит особую точку 0, в которой подынтегральная функция может обращается в бесконечность при p<0, поэтому снова разобьем исходный интеграл на два:

.

Интеграл I₁ является несобственным интегралом второго рода, и подынтегральная функция эквивалентна при x0 функции x^p (e^-x 1 при x0), т.е. I₁ сходится при p>-1 (пример 1).

Интеграл I₂ является несобственным интегралом первого рода. Подобрать функцию, эквивалентную подынтегральной функции, такую, чтобы она не содержала показательной функции, не удается. Поэтому использовать признак сравнения 2, как в предыдущих примерах, нельзя . Применим первый признак сравнения, для чего используем следующий известный факт:

при >0 и любом p. Из этого, и того, что функция x^pe^-x непрерывна, следует, что эта функция ограничена, т.е. существует такая константа M>0, что x^pe^-x < M. Возьмем, например, =1/2, и оценим интеграл I₂ сверху:

,

т.е. интеграл I₂ сходится при любом p.

Таким образом, исходный интеграл сходится при p>-1.

Пример 6 Исследовать на сходимость .

Проведем замену переменной: t = lnx, и получим

.

Разбиение интеграла на два произведено аналогично примеру 5. Интеграл I₁ полностью эквивалентен интегралу I₁ из примера 5 и, следовательно, сходится при q<1.

Рассмотрим интеграл I₂ . При условии 1-p<0 этот интеграл полностью эквивалентен интегралу I₂ в примере 5 (доказательство сходимости аналогично, а условие 1-p<0 нужно для выполнения и =(1-p)/2. ).

Итак, I₂ сходится при p>1. Однако, на этом исследование сходимости этого интеграла не закончено, так как использованный признак сходимости дает только достаточные условия сходимости. Поэтому нужно исследование сходимости при 1-p0.

Рассмотрим случай p=1. Тогда интеграл I₂ эквивалентен , который сходится при q>1 (заметим, что в этом случае интеграл I₁ расходится) и расходится в противном случае.

При p<1 оценим интеграл I₂ и покажем его расходимость. Для этого вспомним, что при 1-p>0, и, следовательно, начиная с некоторого А>1 выполнено t^-qe^(1-p)t  M=const>0. Тогда для интеграла I₂ справедлива оценка

,

где интеграл в правой части расходится, что и доказывает расходимость интеграла I₂ .

Суммируя полученные результаты, получаем что исходный интеграл сходится при q<1 и p>1, в противном случае интеграл расходится.

Пример 6 Исследовать на абсолютную и условную сходимость .

Разобьем исходный интеграл на два:

.

Сходимость. Интеграл I₁ эквивалентен , т.е. сходится при p<2 (пример 1) , причем абсолютно, так как подынтегральная функция положительна на отрезке интегрирования.

Интеграл I₂ сходится про признаку Дирихле-Абеля при p>0 т.к. первообразная sin(x) ограничена, а функция 1/x^p монотонно стремится к нулю при x стремящемся к бесконечности.

Покажем, что при p0 интеграл расходится. Воспользуемся для этого критерием Коши, а точнее его отрицанием

.

Возьмем в качестве R₁и R₂ следующие величины: R₁=2k и R₂=2k+/2, тогда

, при p>0.

Таким образом, интеграл сходится при 0<p<1.

Абсолютная сходимость Абсолютная сходимость интеграла I₁ уже установлена, рассмотрим абсолютную сходимость I₂ . Оценим интеграл сверху:

, т.е. интеграл сходится при p>1.

Для доказательства расходимости при p1 оценим интеграл снизу

.

Разобьем последний интеграл от разности функций на разность интегралов

.

Если оба интеграла сходятся, то и интеграл от разности сходится, если один из интегралов расходится, а другой сходится - то интеграл от разности расходится. В случае расходимости обоих интегралов сходимость интеграла от разности подлежит дальнейшему исследованию. Нас интересует второй из описанных случаев.

расходится (пример 1) при p<1. сходится по признаку Дирихле-Абеля при 1>p>0 (см. Сходимость), следовательно интеграл оценивается снизу расходящимся интегралом, т.е. расходится.

Случай p1 нас не интересует, т.к. при этих значениях параметра интеграл расходится.

Таким образом, исходный интеграл сходится абсолютно при 0<p<1, сходится условно при 1p<2.