ДеВан - задачи для 2-го потока

Задачи для курса «Действительный Анализ»

2-й курс, 2-й поток, 2002-2003 учебный год.

Лектор профессор А.И.Аптекарев

1. Замкнутость относительно каких пар операций дает эквивалентное определение кольца?

2. Проверить, что кольцо является полукольцом.

3. Если для любого >0, является кольцом, то и - кольцо.

4. Доказать, что на кольце прямоугольников площадь является - аддитивной мерой.

1. Привести пример плоского множества измеримого по Лебегу , но не измеримого по Жордану.

2. Доказать, что если множество замкнуто, ограничено и для него , то оно измеримо и по Жордану и .

3. Доказать, что множество измеримо тогда и толькл тогда, когда для любого выполнено .

4. Для любого множества положительной меры Лебега построить множество содержащееся в нем и не измеримое по Лебегу.

5. Построить на [0,1] нигде не плотное множество наперед заданной меры р.

1. Привести пример множества меры нуль, которое нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.

1. Доказать, что в любом множестве положительной меры найдутся две точки расстояние между которыми рационально.

2. Доказать, что множество измеримо по Лебегу существуют замкнутые множества и , такие что ,

3. Доказать эквивалентность определения измеримости через измеримость множества любого из типов :

4. Привести пример неизмеримой функции , для которой множество измеримо для любого

5. Для измеримости функции необходимо и достаточно, что бы для любого -множества из его прообраз был измерим.

6. Доказать измеримость производной , если непрерывная функция дифференцируема почти всюду.

7. Будет ли измерима функция , где а) -измеримая, а -непрерывная функции; в) -непрерывная, а -измеримая функции;

8. Пусть -простая функция, принимающая значения на множествах . Показать, что она измерима тогда и только тогда, когда все измеримы.

9. Привести пример последовательности измеримых функций, сходящейся почти всюду, но не сходящейся по мере.

1. Доказать, что теорема Егорова неверна, если мера всего пространства равна .

1. Привести пример неизмеримой функции, такой что её модуль измерим.

1. Пусть функция интегрируема по Лебегу на измеримом множестве , . Доказать, что

2. Привести пример функции : , измеримых множеств , таких что , и при этом интегрируема по Лебегу на , ряд абсолютно сходится, но не интегрируема пр Лебегу на .

3. Доказать, что суммируемость счетно-простой функции, принимающей значения на , , эквивалентна сходимости ряда .

4. Привести пример, когда в заключении теоремы Фату строгое неравнство.

1. Доказать, что .

1. Доказать, что для неотрицательных функций из интегрируемости по Риману в несобственном смысле следует интегрируемость по Лебегу.

1. Построить измеримую, неитегрируемую по Лебегу функцию такую, что , .

1. Привести пример такой функции, что любая функция, совпадающая с ней почти всюду, неинтегрируема по Риману.

1. Доказать, что Канторова лестница не является АС-функцией.

1. Доказать линейность классов АС и VB .

1. При каких и функции принадлежат классам АС и VB на [0,1].

1. Доказать для случая АС равенство : .

1. Привести пример последовательности интегрируемых по Лебегу функций, сходящихся по мере, но не сходящихся в .

1. Показать несовпадение пространств при различных p (для Е=[0,1] и E=[1, ]).

1. Выяснить связь между сходимостью в и сходимостью почти всюду и по мере.

1. Доказать неравенство Чебышева для : .

1. Доказать, что если , то эквивалентна ограниченной функции.