chapter4 (Л.Н. Фадеева - Задачи по теории вероятностей с решениями (DOC))

Глава 4. Повторные независимые испытания. Теорема Бернулли.

§ 1. Испытания Бернулли.

Теория вероятностей имеет дело с такими экспериментами, которые можно повторять, по крайней мере теоретически, неограниченное число раз. Пусть некоторый эксперимент повторяется n раз, причем результаты каждого повторения не зависят от исходов предыдущих повторений. Такие серии повторений часто называют независимыми испытаниями. Частным случаем таких испытаний являются независимые испытания Бернулли, которые характеризуются двумя условиями:

1. результатом каждого испытания является один из двух возможных исходов, называемых соответственно «успехом» или «неудачей»;

2. вероятность «успеха» в каждом последующем испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний.

Теорема Бернулли. Если производится серия из n независимых испытаний Бернулли, в каждом из которых успех появляется с вероятностью р, то вероятность того, что успех в n испытаниях появится ровно m раз , выражается формулой

P_n(m)=C_n^mp^mq^n-m, где q=1-p – где вероятность неудачи.

Эта формула называется формулой Бернулли.

Задача 1. Игральная кость бросается 6 раз. Найти вероятность того, что ровно 3 раза выпадет «шестерка».

Решение. Пятикратное бросание кости можно рассматривать как последовательность независимых испытаний с вероятностью успеха («шестерки») равно 1/6 и вероятностью неудачи — 5/6. Искомую вероятность найдем по формуле .

Задача 2. Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более, чем 2 раза.

Решение. Искомая вероятность равна сумме трех вероятностей

Р = Р₆(0) + Р₆(1) + Р₆(2) = .

§ 2. Наивероятнейшее число успехов.

Число m, при котором биномиальные вероятности P_n(m) достигают своего максимального значения (при фиксированном числе испытаний n) называют обычно наиболее вероятным (наивероятнейшим) числом успехов. Справедливо следующее утверждение о наивероятнейшим числе успехов:

Наивероятнейшее число успехов m* в серии из n независимых испытаний Бернулли (с вероятностью успеха р в одном испытании) определяется соотношением np-qm*np+p, причем

1. если число np-q - дробное, то существует одно наивероятнейшее число m*;

2. если число np-q - целое, то существует два наивероятнейших числа

m*=np-q, m*=np+p;

1. если np - целое число, то наивероятнейшее число m*=np.

Задача 3. Монета подбрасывается 3 раза. Найти наиболее вероятное число успехов (выпадений герба).

Решение. Возможными значениями для числа успехов в 3-х рассматриваемых испытаниях являются m = 0, 1, 2 или 3. Пусть A_m - событие , состоящее в том, что при 3-х подбрасываниях монеты герб появляется m раз. По формуле Бернулли легко найти вероятности событий A_m (см. таблицу):

Из этой таблицы видно, что наиболее вероятными значениями являются числа 1 и 2 (их вероятности равны 3/8). Этот же результат можно получить и из приведенного выше утверждения.

Задача 4. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна ¾. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если общее их количество равно 10.

Решение. В этом примере n=10, p=3/4=0,75, q=1/4=0,25. Тогда неравенство для наиболее вероятного числа успехов выглядит так:

np-qm*np+p,

т.е. 10*0,75-0,25 m*10*0,75+0,75,

или 7,25m*8,25.

Существует только одно целое решение этого неравенства, а именно, m*=8.

§ 3. Приближенные формулы.

При больших n непосредственное вычисление вероятностей P_n(m) по формуле Бернулли сопряжено с трудностями вычислительного порядка, поэтому в таких случаях используют различные варианты приближенных вычислений, основанные на предельных теоремах Пуассона и Муавра‑Лапласа.

А. Приближенная формула Пуассона используется в том случае, когда число испытаний Бернулли (n) – велико, а вероятность успеха в отдельном испытании мала (p<0,1). Тогда

P_n(m)

Задача 5. Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5%. Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить ровно 3 бракованных детали? Какова вероятность обнаружить не меньше 3-х бракованных деталей?

Решение. Имеем 1000 испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» р=0,005, и npq <5. Применяя пуассоновское приближение с np=5, получаем

P₁₀₀₀(3) , P₁₀₀₀(m3)=1-P₁₀₀₀(m<3)= 1-[ ] 1- и по таблицам находим Р₁₀₀₀(3)0,14, Р₁₀₀₀(m3)0,875.

В силу определенной «симметричности» понятий «успех» и «неудача» приближенная формула Пуассона может использоваться в схеме независимых испытаний Бернулли также и в случае, когда р близко к единице (т.е. q<0,1), а nq - не велико и не мало:

P_n(n-m)=C_n^n-mp^n-mq^m=C_n^mp^n-mq^m 

Б. Приближенные формулы Муавра – Лапласа. Если в схеме независимых испытаний Бернулли число испытаний n велико, а вероятности успеха и неудачи не малы (например, 0,1<p<0,9), то вероятность P_n(m) появления ровно m успехов в n испытаниях вычисляется по формуле (локальная теорема Муавра-Лапласа):

P_n(m)=

где (х)= . Функция (х) – четная и для положительных значений х составлена таблица ее значений.

Задача 6. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле р=0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз.

Решение. Здесь n=10, m=8, p=0,75, q=0,25. Найдем х= , и по таблице определяем  (x)=0,3739, тогда искомая вероятность равна

Р₁₀(8)= .

Для вычисления вероятности P_n(m₁,m₂)= P(m₁mm₂) события, состоящего в том, что число успехов в n испытаниях Бернулли окажется заключенным в пределах от m₁ до m₂, используется следующая приближенная формула (интегральная теорема Муавра-Лапласа):

P_n(m₁,m₂)Ф(x₂)‑Ф(x₁),

где x₁= , x₂= , а Ф(х)= - функция Лапласа.

Функция Ф(x) равна 0 при x=0; Ф(-х)-Ф(x) для всех x, то есть симметрична относительно x=0. Для функции Ф(х) составлены специальные таблицы при положительных значениях аргумента.

Задача 7. Вероятность появления события А в каждом из 21 независимых испытания равна 0,7. Найти вероятность того, что событие А появится в большинстве испытаний.

Решение. х₁= . Аналогично подсчитывается х₂ = 3. Тогда Р(11m21)=Ф(х₂)–Ф(х₁)=0,49865+0,4608=0,9594.

Используя интегральную формулу Муавра-Лапласа можно вычислить вероятность того, что частота появления успеха в n независимых испытаниях Бернулли (т.е. число m/n) отклонится от вероятности успеха не более чем на положительную величину  : .

Задача 8. Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число , чтобы с вероятностью 0,99 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не превышала .

Решение. В этом примере p=0,8, n=400. По условию задачи . Следовательно, , По таблице для функции Лапласа определяем и значит, =0,0516.

Приближенную формулу можно использовать и в следующей «урновой» схеме: из генеральной совокупности объема N, содержащей М белых и N-M черных шаров, осуществляется последовательный выбор без возвращения n элементов. Вероятность того, что в полученной выборке окажется ровно m белых шаров, вычисляется по формуле

P_M,N(m,n)= .

Если объем генеральной совокупности и число белых шаров достаточно велики (N, M, M/Np=const), то «урновую» схему можно приближенно заменить схемой Бернулли:

P_M,N(m,n)P_n(m) , где P_n(m)=C_n^mp^mq^n-m

§ 4. Полиномиальные испытания

От схемы независимых последовательных испытаний с двумя исходами (схема Бернулли или биномиальная схема) можно перейти к полиномиальной схеме, то есть к схеме последовательных независимых испытаний, в каждом из которых возможны k исходов, k>2, с вероятностями p₁,p₂,…,p_k, 0<p_i<1, p_i=1. В этом случае пространство элементарных событий содержит kⁿ таких событий, а вероятность того, что из n испытаний m₁ закончатся первым исходом, m₂ – вторым исходом,…, m_k – k-м исходом равна

P_n(m₁,…,m_k) = .

Полученная формула носит название полиномиального закона распределения.

Задача 9. Шесть рукописей раскладываются случайным образом в пять папок. Какова вероятность, что ни одна папка не останется пустой?

Решение. На раскладку 6 рукописей в папку можно смотреть на серию шести полиномиальных испытаний с 5 исходами (попадание в i-ую папку – это i-ый исход). Вероятности исходов (папок) совпадают и равны . Событие A=«ни одна папка не останется пустой» означает, что в одну папку попадут 2 рукописи, а в остальные папки – по одной рукописи. Следовательно, вероятность того, что в первую папку попадут 2 рукописи, а в остальные папки – по одной рукописи, равна

а вероятность искомого события A (для которого неважно, в какую из 5 папок попадают две рукописи) равна

Задачи для самостоятельного решения

1. Ежедневно новая сделка совершается с вероятностью 0,2 (но не более одной в день). Какова вероятность, что за 5 дней будет совершено 3 сделки?

2. В результате каждого визита страхового агента договор заключается с вероятностью ¼. Какова вероятность, что из 10 визитов страхового агента 5 закончатся заключением договора?

3. Вероятность поражения мишени стрелком равна 0,9. Найти вероятность того, что он поразит мишень не двух раз, сделав 5 выстрелов.

4. Для вычислительной лаборатории приобретено 9 компьютеров, причем вероятность брака для одного компьютера равна 0,1. Какова вероятность, что придется заменить более двух компьютеров?

5. Зачетная работа по предмету состоит из 6 задач, при этом зачет считается сданным, если студент решил хотя бы 3 задачи. Студент Иванов может решить каждую задачу с вероятностью 0,6. Какова вероятность, что он сдаст зачет?

6. Тест по теории вероятностей состоит из 10 вопросов. На каждый вопрос в тесте предлагается 4 варианта ответа, из которых надо выбрать один правильный. Какова вероятность того, что, совершенно не готовясь к тесту, студенту удастся угадать правильные ответы по крайней мере на 6 вопросов?

7. Статистика аудиторских проверок компании утверждает, что вероятность обнаружения ошибки в каждом проверяемом документе равна 0,1. Какова вероятность, что из 10 проверенных документов большинство документов будет без ошибок?

8. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех; б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти (ничьи во внимание не принимаются)?

9. Мастер и ученик играют в шахматный матч. Мастер выигрывает матч, если он выиграл все партии в матче, ученик выигрывает матч, если он выиграл хотя бы одну партию в матче. Из скольких партий должен состоять матч, чтобы шансы на победу у мастера и ученика были равны, если вероятность победы мастера в одной партии равна 0,9, а ученика – 0,1?

10. Испытание состоит в подбрасывании трех кубиков. Сколько раз нужно провести испытание, чтобы с вероятностью не менее 0,95 хотя бы один раз появились «три единицы»?

11. В некотором обществе 5% «левшей». Каков должен быть объем случайной выборки (с возвращением), чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одного «левшу» была не менее 0, 95?

12. В коробке 4 детали. Вероятность, что деталь стандартна, равна 0,9. Сколько надо взять коробок, чтобы с вероятностью не менее 0,99 получить хотя бы одну коробку, не содержащую брака?

13. Сколько раз надо двукратно подбросить монету, чтобы с вероятностью не менее 0,95 хотя бы один раз появилось событие «один герб и одна решка»?

14. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,96. Найти вероятность трех попаданий при четырех выстрелах.

15. Проводится 12 независимых испытаний с вероятностью успеха, равной 0,4. Найти наиболее вероятнее число успехов.

16. Сколько надо сделать выстрелов с вероятностью попадания в цель 0,7, чтобы наивероятнейшее число попаданий в цель было равно 15?

17. Система состоит из 6 независимо работающих элементов. Вероятность отказа элемента равна 0,3. Найти а) наивероятнейшее число отказавших элементов; б) вероятность наивероятнейшего числа отказавших элементов системы; в) вероятность отказа системы, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы пять элементов.

18. Игральная кость бросается 16 раз. Найти наивероятнейшее число очков появлений числа очков, кратного трем и вычислить его вероятность.

19. Сколько раз надо бросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число появлений четного числа очков, было равно 6?

20. Сколько надо сыграть партий в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?

21. Каждый из 100 компьютеров в интернет-кафе занят клиентом в среднем в течении 80% рабочего времени. Какова вероятность того, что в момент проверки будет занято клиентами: а) от 70 до 90 компьютеров; б) не менее 80 компьютеров?

22. Известно, что вероятность «зависания» компьютера в интернет-кафе равна 0,6%. Какова вероятность того, что при случайном отборе 200 компьютеров «зависнут» а) ровно 6 компьютеров; б) не более 5 компьютеров?

23. При наборе текста наборщик делает ошибку в слове с вероятностью 0,001. Какова вероятность, что в набранной книге, насчитывающей 5000 слов, будет не более 5 ошибок?

24. Страховая фирма заключила 10000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому в течении года составляет 2%. Найти вероятность того, что таких случаев будет не более 250.

25. Сборник задач содержит 400 задач с ответами. В каждом ответе может быть ошибка с вероятностью 0,01. Какова вероятность, что для 99% всех задач сборника ответы даны без ошибок?

26. В партии из 768 арбузов каждый арбуз оказывается неспелым с вероятностью 0,25. Найти вероятность того, что количество спелых арбузов будет находиться в пределах от 564 до 600.

27. Известно, что вероятность выпуска дефектной детали равна 0,02. Детали укладываются в коробки по 100 штук. Чему равна вероятность того, что: а) в коробке нет дефектных деталей; б) число дефектных деталей не более двух?

28. В партии 100 изделий, из которых 4 бракованных. Партия разделена на две равные части, которые отправлены двум потребителям. Какова вероятность того, что все бракованные изделия достанутся: а) одному потребителю; б) обоим потребителям поровну?

29. Найти вероятность того, что в серии из 100 бросаний монеты число «орлов» и «решек» совпадают.

30. В коробке 3 детали, вероятность брака для каждой детали равна 0,1. Какова вероятность того, что среди 10 коробок будет не менее 8 не содержащих бракованных деталей?

31. Производители калькуляторов знают из опыта, что 1% проданных калькуляторов имеет дефекты. Аудиторская фирма купила 500 калькуляторов. Какова вероятность того, что придется заменить 4 калькулятора?

32. Вероятность того, что в партии из 100 изделий имеется брак, составляет 63,2%. Найти вероятность, что там не более 3 бракованных изделии.

33. На научную конференцию приглашены 100 человек, причем каждый из них прибывает с вероятностью 0,7. В гостинице для гостей заказано 65 мест. Какова вероятность, что все приезжающие будут поселены в гостинице?

34. Вероятность того, что дилер продаст ценную бумагу, равна 0,6. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы с вероятностью 0,99 можно было надеяться, что доля проданных бумаг отклоняется от 0,6 не более, чем на 0,05?

35. На выборах кандидата в мэры поддерживает 40% населения. При опросе общественного мнения было выбрано 1000 человек. С какой вероятностью можно утверждать, что доля избирателей из этой выборки, поддерживающих кандидата, отличается от истинной доли не более, чем на 0,05?

36. Каждый из 900 посетителей оптового рынка случайным образом обращается в один из 10 ларьков. В каких границах с вероятностью 0,95 лежит число клиентов отдельно взятого ларька?

37. Производится 500 подбрасываний симметричной монеты. В каких пределах будет находиться отклонение частоты выпадения герба от 0,5 с вероятностью 0,99?

38. Доля населения региона, занятого в промышленности, равна 0,4. В каких пределах с вероятностью 0,95 находится число занятых в промышленности среди 10000 случайно отобранных людей?

39. По экспертной оценке доля p населения данной социальной группы приближенно равна 0,25. Каков должен быть объем n выборки, чтобы с вероятностью не менее 0,99 погрешность в оценке неизвестной вероятности p составляла не более 0,005?

40. Вероятность того, что случайно взятая деталь окажется второго сорта, равна 3/8. Сколько нужно взять деталей, чтобы с вероятностью, равной 0,995, можно было ожидать, что доля деталей второго сорта отклонится от вероятности менее, чем на 0,001?

41. Шесть рукописей случайно раскладывают по пяти папкам. Какова вероятность, что ровно одна папка останется пустой?

42. Пять яблок раскладываются в четыре ящика. Какова вероятность, что в двух ящиках будет по два яблока, в одном - одно яблоко и один ящик будет пустой?

43. Пять клиентов случайным образом обращаются в 5 фирм. Найти вероятность того, что в одну фирму никто не обратится.

44. Два шахматиста — А и В — встречались за доской 50 раз, причем 15 раз выиграл А, 10 раз выиграл В и 25 партий закончились вничью. Найти вероятность того, что в матче из 10 партий между этими шахматистами 3 партии выиграет А, 2 партии выиграет В, а 5 партий закончатся вничью.

45. В магазине висит один костюм второго роста, два костюма третьего роста, три костюма четвертого роста. Костюм второго роста спрашивается с вероятностью 0,2, костюм третьего роста - с вероятностью 0,3, костюм четвертого роста - с вероятностью 0,5. В магазин обратились три покупателя. Найти вероятность того, что хотя бы один из них ушел без покупки.

46. Лифт начинает движение с 7 пассажирами и останавливается на 10 этажах. Найти вероятность того, что три пассажира вышли на одном этаже, еще два пассажира вышли на другом этаже и последние два – на еще одном этаже.

47. В некоторой лотерее каждый сотый билет выигрышный. Сколько нужно купить билетов, чтобы с вероятностью 0,95 быть уверенным в том, что хотя бы один билет окажется выигрышным?

9