chapter2 (Л.Н. Фадеева - Задачи по теории вероятностей с решениями (DOC))

Глава 2. Классическая вероятностная модель.

Геометрическая вероятность.

§ 1. Пространство элементарных исходов.

Каждый эксперимент заканчивается каким-то определенным результатом, который не всегда возможно заранее предугадать. Для того, чтобы формально описать некоторый эксперимент, нужно указать все возможные варианты результатов, которыми этот эксперимент может закончиться. В теории вероятностей такие результаты называются исходами. Множество  всех возможных исходов эксперимента называется пространством элементарных исходов. Предполагается, что эксперимент может закончиться одним и только одним элементарным исходом. В наиболее простом случае все эти исходы можно перечислить:

 = ₁ , ₂, ... _n, или = ₁, ₂ , ....

Такое пространство элементарных исходов называется дискретным.

Простейшим пространством элементарных исходов является такое пространство, в котором все указанные исходы рассматриваемого эксперимента

1. равновозможны;

2. взаимно несовместны (т.е. в результате эксперимента может произойти один и только один из указанных исходов),

3. все исходы образуют полную группу событий (т.е . никакие другие исходы, кроме перечисленных, не могут произойти).

Такое пространство конечно и называется пространством равновозможных исходов (или симметричным пространством).

ПРИМЕР 1. При бросании симметричной монеты возможны два исхода – выпадение решки или герба. Они удовлетворяют всем трем указанным выше условиям и потому в этом случае пространство элементарных исходов представляется так (здесь буквами Р и Г обозначены решка и герб соответственно):

ПРИМЕР 2. При одновременном бросании двух монет исходы представляют собой упорядоченные пары, состоящих из символов Р и Г. Первый элемент этой пары – результат, выпавший на первой монете, второй элемент – результат на второй монете. Очевидно, что таких пар – четыре:

ПРИМЕР 3. В случае бросания игральной кости может выпасть любое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Поэтому пространство элементарных исходов

ПРИМЕР 4. При одновременном бросании двух игральных костей элементарные исходы представляют собой пары (x, y), где x – число очков, выпавшее на первой кости, а y – число очков на второй кости. Всего таких пар – 36:

§ 2. Событие и его вероятность.

В дискретном пространстве вероятность каждого элементарного исхода считается заданной и обозначается Р(_i), или просто р_i , причем всегда

1. р_i  0

2. (или ),

т.е. сумма (конечная или бесконечная) вероятностей всех элементарных исходов равна единице. Элементарные исходы мы называем элементарным событием.

Событием называется любое подмножество, состоящее из элементарных исходов пространства элементарных событий . Говорят, что «событие А произошло», если эксперимент закончился одним из элементарных исходов _iА.

Вероятностью события А называется сумма вероятностей всех элементарных исходов, входящих в А, то есть Р(А)= . Из этого определения вероятности события следует, что всегда 0  Р(А)  1.

В случае равновозможных исходов вероятность элементарного события А определяется формулой

,

где – число элементов во множестве , которое обычно называется «общее число исходов», а – число элементов во множестве A, называемое «числом благоприятствующих исходов».

Событие А, состоящее из всех элементарных исходов, не входящих в А, называется противоположным событием к событию А. Оно происходит тогда и только тогда, когда событие A не произошло. Очевидно что Р(А) + Р(А) = 1. Это равенство используется для вычисления вероятности события А в случае, когда вероятность противоположного события известна или легко может быть найдена, тогда Р(А) = 1 - Р(А).

Таким образом, для вычисления вероятности в каждой задаче важно определить, в чем состоит эксперимент, правильно построить соответствующее пространство элементарных событий  и выделить в нем требуемое событие A. Затем, используя методы комбинаторики, подсчитать число элементов в  и A.

Задача 1. В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова вероятность, что все три фрукта – апельсины?

Решение. Элементарными исходами здесь являются выборки, включающие 3 фрукта.

Решение. Так как порядок здесь безразличен, будем считать выборки неупорядоченными (и, разумеется, бесповторными). Общее число элементарных исходов равно числу способов выбрать 3 элемента из 9, т.е. числу сочетаний n= . Число благоприятных исходов m= будет равно числу способов выбора трех апельсинов из имеющихся 5, т.е. числу сочетаний трех элементов из 5, т.е. . Тогда вероятность

.

Задача 2. Преподаватель предлагает каждому из трех студентов задумать любое число от 1 до 10. Считая, что выбор каждым из студентов любого числа из заданных равновозможен, найти вероятность того, что у кого-то из них задуманы числа совпадут.

Решение. Подсчитаем сначала общее количество исходов. Элементарными исходами будем считать упорядоченные совокупности задуманных чисел: N₁, N₂, N₃, где N₁ - число, задуманное первым студентом, N₂ - вторым и N₃ - третьим Первый из них выбирает одно из 10 чисел — 10 возможностей, второй делает то же самое — 10 возможностей, наконец, выбор третьего также 10 возможностей. Согласно основной теоремы комбинаторики общее число способов будет равно:

n= N₁N₂N₃=10³ = 1000 элементарных исходов.

Подсчет количества благоприятных исходов более сложен. Заметим, что совпадение задуманных чисел может произойти у любой пары студентов (или даже одновременно у всех троих). Чтобы не разбирать отдельно все эти случаи, удобно перейти к противоположному событию, т.е. подсчитать количество тех случаев, когда все три студента задумывают разные числа. Первый из них по-прежнему имеет 10 способов выбора числа. Второй студент теперь имеет лишь 9 возможностей (поскольку ему приходится заботиться о том, чтобы его число не совпало с задуманным числом первого студента N₂  N₁. Третий студент еще более ограничен в выборе — у него всего 8 возможностей (из 10 возможных для N₃ исключаются два числа: N₃  N₁ , N₃  N₂). Поэтому общее число комбинаций задуманных чисел, в которых нет совпадений, равно в силу той же основной теоремы m=10  9  8 = 720. Остальные случаи 1000 - 720 = 280 характеризуются наличием хотя бы одного совпадения. Следовательно, искомая вероятность совпадения равна Р=280/1000= 0,28.

Задача 3. Найти вероятность того, что в 8-значном числе ровно 4 цифры совпадают, а остальные различны.

Решение. Событие А={8-значное число содержит 4 одинаковые цифры}. Из условия задачи следует, что в числе 5 различных цифр, одна из них повторяется - число способов её выбора - любая из 10 цифр, и эта цифра занимает любые 4 места в числе – число способов . Оставшиеся 4 места занимают различные цифры из неиспользованных 9, и так как число зависит от порядка расположения цифр, то число способов выбора четырех цифр равно . Тогда число благоприятствующих исходов . Всего же способов составления 8-значных чисел равно ||=10⁸. Искомая вероятность равна .

Задача 4. Шесть клиентов случайным образом обращаются в 5 фирм. Найти вероятность того, что хотя бы в одну фирму никто не обратится.

Решение. Рассмотрим обратное событие , состоящее в том, что в каждую из 5 фирм обратился клиент, тогда в какую-то из них обратились два человека, а в остальные 4 фирмы – по одному клиенту. Таких возможностей . А всего способов распределить 6 клиентов по 5 фирмам . Отсюда , следовательно .

Задача 5. Среди 25 экзаменационных билетов имеется 5 «счастливых» и 20 «несчастливых». Студенты подходят за билетами один за другим по очереди. У кого больше вероятность вытащить «счастливый» билет: у того, кто подошел первым, или у того, кто подошел вторым?

Решение. Пусть «счастливые» билеты имеют номера 1,2,3,4,5. Обозначим через i₁ номер билета, взятого первым студентом, через i₂ - номер билета, взятого вторым студентом, тогда элементарным исходом будет пара , а пространство элементарных исходов

здесь все элементарные исходы равновероятны. Событие А={первый студент взял «счастливый» билет} имеет вид

а событие В={второй студент взял «счастливый» билет} имеет вид: