Билеты к экзамену

Билет 1.

1. Доказательство корректности определения суммы и произведения двух вещественных чисел.

2. Определение, свойства и график функции .

3. Определение ограниченного (сверху, снизу) числового множества.

4. Дать определение по Гейне: существует .

5. Дать определение: .

Билет 2.

1. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности.

2. Определение, свойства и график функции .

3. Определение точной верхней грани числового множества .

4. Дать определение по Гейне: неверно, что .

5. Дать определение: ─0.

Билет 3.

1. Понятие числовой последовательности. Определения ограниченной и неограниченной, бесконечно большой и бесконечно малой последовательности. Примеры.

2. Определение, свойства и график функции .

3. Определение точной нижней грани числового множества .

4. Дать определение по Коши: существует .

5. Дать определение: +0.

Билет 4.

1. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (критерий Коши).

2. Определение, свойства и график функции .

3. Определение - число не является точной верхней гранью множества .

4. Дать определение по Коши: неверно, что .

5. Дать определение: .

Билет 5.

1. Теорема о точках разрыва монотонной функции.

2. Определение, свойства и график функции .

3. Определение - число не является точной нижней гранью множества .

4. Дать определение по Гейне: .

5. Дать определение: .

Билет 6.

1. Предельный переход в неравенствах для последовательностей.

2. Определение, свойства и график функции .

3. Определение предела числовой последовательности.

4. Дать определение по Гейне: неверно, что .

5. Дать определение: .

Билет 7.

1. Критерий Коши существования предельного значения функции.

2. Определение, свойства и график функции .

3. Определение ограниченной (неограниченной) последовательности.

4. Дать определение по Коши: .

5. Определение функции, непрерывной в точке a.

Билет 8.

1. Понятие непрерывности функции в точке и на множестве. Арифметические операции над непрерывными функциями. Классификация точек разрыва.

2. Определение, свойства и график функции .

3. Определение бесконечно малой (не бесконечно малой) числовой последовательности.

4. Дать определение по Коши: неверно, что .

5. Определение функции, непрерывной в точке a справа.

Билет 9.

1. Счетные множества. Их свойства. Доказательство того, что множества целых и рациональных чисел являются счетными.

2. Выделение полного квадрата. Формула корней квадратного уравнения.

3. Определение бесконечно большой (не бесконечно большой) числовой последовательности.

4. Дать определение по Гейне: .

5. Определение функции, непрерывной в точке a слева.

Билет 10.

1. Теорема об обратной функции.

2. Свойства степеней с натуральными и целыми показателями.

3. Определение монотонной последовательности.

4. Дать определение по Гейне: неверно, что .

5. Сформулировать теорему о монотонной и ограниченной последовательности.

Билет 11.

1. Число е.

2. Свойства степеней с рациональными показателями.

3. Определение фундаментальной последовательности.

4. Дать определение по Коши: .

5. Определение точки устранимого разрыва функции.

Билет 12.

1. Вещественные числа и правила их сравнения.

2. Доказательство неравенства , - рациональное, .

3. Последовательность удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши

4. Дать определение по Коши: неверно, что .

5. Определение точки разрыва функции II рода.

Билет 13.

1. Два определения предельного значения функции (по Гейне и по Коши) и доказательство их эквивалентности.

2. Определение для произвольного вещественного . Монотонность функции .

3. Функция удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при стремлении к .

4. Дать определение по Гейне: .

5. Сформулировать теорему о монотонной и ограниченной последовательности.

Билет 14.

1. Понятие сходящейся последовательности. Единственность предела сходящейся последовательности, ограниченность сходящейся последовательности.

2. Определение для произвольного вещественного . Доказательство того, что .

3. Функция удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при стремлении к .

4. Дать определение по Гейне: неверно, что .

5. Сформулировать теорему о непрерывности сложной функции.

Билет 15.

1. Пример несчетного множества (с доказательством несчетности). Мощность континуума.

2. Определение для произвольного вещественного . Непрерывность функции .

3. Функция удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при стремлении к .

4. Дать определение по Коши: .

5. Сформулировать теорему Больцано-Вейрштрасса.

Билет 16.

1. Бесконечно малые и бесконечно большие (в данной точке) функции и принципы их сравнения.

2. Определение для произвольного вещественного . Множество значений функции

3. Функция удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при стремлении к .

4. Дать определение по Коши: неверно, что .

5. Дать определение: .

Билет 17.

1. Приближение вещественных чисел рациональными (3 леммы).

2. Определение, свойства и график функции .

3. Функция удовлетворяет (не удовлетворяет) условию Коши при стремлении к .

4. Дать определение по Гейне: .

5. Дать определение: .

Билет 18.

1. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.

2. Определение, свойства и график функции .

3. Определение ограниченной (не ограниченной) функции на множестве .

4. Дать определение по Гейне: неверно, что .

5. Дать определение: .

Билет 19.

1. Определения разности и частного двух вещественных чисел; доказательство их корректности.

2. Определение, свойства и график функции .

3. Определение точной нижней грани функции на множестве .

4. Дать определение по Коши: .

5. Определение - число не является точной верхней гранью множества .

Билет 20.

1. Арифметические операции над функциями, имеющими предельное значение. Предельный переход в неравенствах для функций.

2. Основное логарифмическое тождество. Логарифмы произведения, частного, степени.

3. Определение фундаментальной последовательности.

4. Дать определение по Коши: неверно, что .

5. Определение точки устранимого разрыва функции.

Билет 21.

1. Критерий непрерывности монотонной функции.

2. Основное логарифмическое тождество. Формула перехода к новому основанию.

3. Определение точки разрыва функции I рода.

4. Дать определение по Гейне: .

5. Определение точной нижней грани функции на множестве .

Билет 22.

1. Понятие предельной точки последовательности. Теорема о существовании верхнего и нижнего пределов у ограниченной последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

2. Определение, свойства и график функции .

3. Критерий Коши существования предельного значения функции в точке .

4. Дать определение по Гейне: неверно, что .

5. Дать определение: .

Билет 23.

1. Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества вещественных чисел.

2. Определение, свойства и график функции .

3. Сформулировать теорему о непрерывности сложной функции.

1. Дать определение по Коши: .

Билет 24.

1. Непрерывность сложной функции.

2. Определение, свойства и график функции

3. Определение фундаментальной последовательности.

4. Дать определение по Коши: неверно, что .

5. Дать определение: .

Билет 25.

1. Понятие сходящейся последовательности. Арифметические операции над сходящимися последовательностями.

2. Определение, свойства и график функции .

3. Определение функции на числовом множестве.

4. Дать определение по Гейне: .

5. Определение точки разрыва функции I рода.

Билет 26.

1. Локальные свойства непрерывных функций (ограниченность, сохранение знака).

2. Бином Ньютона.

3. Сформулировать теорему Больцано-Вейрштрасса.

4. Дать определение по Гейне: неверно, что .

5. Дать определение: +0.

Билет 27.

1. Свойства вещественных чисел (доказать одно из свойств, связанных с неравенствами).

2. Неравенство Бернулли.

3. Дать определение: .

4. Дать определение по Коши: .

5. Определение точки разрыва функции II рода.