Дано: e=141sinωt В R1=3 Ом, R2=2 Ом L=0,00955 Гн ω=314c-1 Определить ток и напряжение на элементах цепи. Решение: запищем уравнение для мгновенных значений: i(R1+R2)+L(di/dt)=e, В комплексах: I(.)(R1+R2)+jωLI(.)=E(.) или I(.)Z=E(.), где Z=R1+R2+jωL=5+3j=5,82ej31º. Комплекс ЭДС: E(.)=141/√2 =100В. Ток: I(.)=E(.)/Z=100/5,8ej31º= =17,2e-j31ºA. Теперь найдем напряжения: UR1(.)=Uab(.)=I(.)R1=51,6e-j31º UL(.)=Ucd(.)=jωLI(.)= =3j*17,2e-j31º=51,6ej59ºВ Векторная диаграмма изображена на рисунке, вектор Е(.) направлен по оси +1. Ток отстает от него на 31º Дано: R=4 Ом, ω=105c-1 Определить величину емкости С, ечли при ЭДС E=10мВ, ток в цепи I=2мА Решение: Комплексное сопротивление цепи: __________ Z=R – j/ωC; его модуль z=√R2+(1/ωC)2 По закону Ома: I=E/z. Отсюда z=E/I=5 Ом. Xc=1/ωC=√z2-R2` =3 Ом, C=1/ωXc=3,33мкФ. На схеме параллельно включены индуктивное сопротивление XL=ωL и активное R, численно равное XL. Показание А2 равно 5А. Определить показания А3. Сопротивления амперметров не учитывать. Решение: Построим векторную диаграмму. Напряжение Uab(.) совпадает по фазе с током I2(.). Ток I1(.) отстает от I2(.) на 90º и равен ему по величине. I3(.)=I1(.)+I2(.). Модуль тока I3(.) равен 5√2=7,05A. Амперметр показывает 7,05A. Дано: показания приборов: U=120В I=5A, P=400Вт. За- мыкание ключа К приводит к уменьшению показаний амперметра. Найти Zвх Решение: Модуль z=U/I=24Ом, cosφ=P/UI=0,666 sinφ=0,745; Rвх=zcosφ=16Ом, Xвх=zsinφ=18 Ом Zвх=(16+j18)Ом. Если показания амперметра при замыкании ключа станут больше, значит φ отрицательно, если меньше, то положительно. НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЙ ПЕРИОДИЧ. ТОК Дано: Найти 1 и 3 гармоники f(x). Значения ординат fp(x) за 1ый полупериод при разбивке периода на n=24 части следующие: p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 fp(x) 7 11 13,5 15,4 17,4 20,5 25,4 32,5 27,7 (10; 19,2), (11; 10), (12; 5) Решение: Т.к. кривая симметрична относительно оси абсцисс, то A0=A2'=A2''=A4'…=0. A1'=(2/n)*Σ[p=1,n]fp(x)sinpx=(4/n)* *Σ[p=1, n/2]fp(x)sinpx = =(4/24)*(7sin7º30'+11sin22º30'+..+5sin172º30')=25,3 A1''=(4/n)*Σ[p=1,n/2]fp(x)cospx≈ -5,23 A3'=(4/24)*Σ[p=1;12]fp(x)sinp3x≈3,47 A3''=(1/6)*Σ[p=1;12]fp(x)cosp3x≈5,1 Амплитуда 1-ой гармоники A1=√A1'2+A1'2`=25,9 Тангенс угла ψ1, на который начало 1-ой гармоники смещено по отношению к началу кривой f(x): tgψ1=A1''/A1'= -0,206, ψ1= -11º40' A3=√A3'2+A3'2`=6, tgψ3=1,47, ψ3=55º50'. Следовательно, если ограничится 1 и 3 гармоникой, то f(ωt)=25,9sin(ωt-11º40')+6sin(3ωt+55º50') | Дано: ik(t)=Ikmcos2ωt, e(t)=E0+Emsinωt. Индуктивность L4 магнитно связана с L3. Определить мгновенно значение тока i3 и напряжения uab. Ikm=5A, ω=1000рад/с, E0=3В, Em=6B, R1=3 Ом, L3=3мГ, M=1мГ. Решение: По 1-му закону Кирхгофа: uab – L4(di4/dt)+ M(di3/dt)=0, но i4=0, uab= -M(di3/dt). Воспользуемся принципом наложения и найдем составляющие i3 от каждого источника в отдельности. Схема б) для расчета токов от постоянной составляющей ЭДС. Левая ветвь разомкнута, т.к. в нее включен источник тока с бесконечным сопротивлением. Правая ветвь короткозамкнута, т.к. индуктивность для постоянного тока имеет нулевое сопротивление. При этом i3(0)=E0/R1=1A. Первую гармонику i3(1) находим используя рисунок в), I(.)3m(1)= =6/(3+3j)=1,41e-j45º. Вторую гармонику по г). I3m(2)=I(.)km*R1/(R1+j2ωL)=5ej90º*3/(3+j6)=2,23ej26º40' Мгновенное значение тока равно сумме найденных мгновенных значений: i3=1+1,41sin(ωt-45º)+2,23sin(2ωt+26º40')A uab= -M(di3/dt)= -1,41cos(ωt-45º)-4,46cos(2ωt+26º40') Дано: активное сопротивление катушки =0, при каких C1 и C2 входное сопротивление схемы для 1-ой гармоники =0, а для 9 равно бесконечности. Решение: для 1-ой гармоники: Z1=(-j/ωC1)+ (jωL2(-j/ωC2))/j(ωL2-(1/ωC2))=0 Z9=(-j/9ωC1)+ j9ωL2(-j/9ωC2)/j(9ωL2-(1/9ωC2))=∞ Совместное решение дает: 1/ωC2=81ωL2 и 1/ωС1=(81/80)*ωL2 Дано: на входе двухполюсника u=100+80sin(ωt+30º)+60sin(3ωt+20º)+ +50sin(5ωt+45º)В, i=33,3+17,87sin(ωt-18º)+5,59sin(5ωt+120º)A. Найти их действцющие значения. Решение: U=√1002+802/2 +602/2 +502/2`=127,1В I=√33,32 + 17,872/2 +5,592/2`=35,6A Дано: функция, не содержащая постоянной составляющей и четных гармоник и не изменяющая знака в течении каждого полупериода. Определить ее среднее по модулю значение. Решение: i=I1msin(ωt+ψ1)+I3m(3ωt+ψ3)+I5msin(5ωt+ψ5)+… После интегрирования получим: Iср.по мод.=(2/π)*(I1mcosψ1+(1/3)I3mcosψ3+(1/5)I5m…) Дано: эдс каждой фазы 3-фазного генератора = 127В. Сопро- тивления = 6,35 Ом, но имеют разный характер: ZA=R, ZB=jωL, ZC=-j/ωC. Определить ток в нулевом проводе. Решение: Построим векторную диаграмму. Токи всех фаз по модулю = 127/6,35=20A. Ток I(.)A совпадает по фазе с E(.)A. Ток I(.)B на90º отстает от E(.)B. Ток I(.)C опережает E(.)C на 90º. Сумма токов дает вектор I(.)0. по модулю он равен 14,6A. Задача2: какой величины должно быть взято R в фазе А, чтобы ток в нулевом проводе стал =0? Решение: геометрическая сумма токов I(.)B+I(.)C по модулю равна 2*20*cos30º=20*√3`A. Ток в нулевом проводе будет =0, если I(.)A, направленный противоположно I(.)B+I(.)C, по модулю станет равным 20√3A. При этом сопротивление фазы А: R=E/20√3=3,66 Ом Дано: ZAB= -19j; ZBC=19j; ZCA=19 Ом. ЭДС каждой фазы генератора 220В. Определить все токи и построить векторную диаграмму. Решение: Напряжения на фазах нагрузки в √3 раз больше фазовых эдс генератора и равны 380В. Ток I(.)AB опережает напряжение U(.)AB на 90º и равен 380/19=20А. Ток I(.)BC отстает от U(.)BC на 90º и также =20А. Ток I(.)CA по модулю =20А и совпадает по фазе с наряжением U(.)CA. Линейные токи I(.)A, I(.)B, I(.)C надем графически. Дано: до замыкания ключа был установившийся режим R1=R2=2 ωL=3, e(t)=127sin(ωt-50º)В, ω=314. Найти: 1) iсв(0+), 2) определить закон изменения тока в цепи после коммутации. Решение1: комплексная амплитуда тока в цепи до коммутации: I(.)m=(127e-j50º)/(4+3j)=25,4ej86º50'A Мгновенное значение тока до коммутации: i=25,4sin(ωt-86º50')A. В момент коммутации (при ωt=0): i(0-)=25,4sin(-86º50')= -25,35A. Установившийся ток после коммутации: I(.)m=(127e-j50º)/(2+3j)=35,2e-j106º20'A | Мгновенное значение установившегося тока: iуст=35,2sin(ωt-106º20')A, iуст(0+)=35,2sin(-106º20')= = -33,8A. По 1 закону коммутации: i(0-)=i(0+)= = -25,35A. Но i(0+)=iуст(0+)+icв(0+)= -25,35+33,8= =8,45А Решение2: Характеристическое уравнение pL+R2=0, его корень p= -210c-1 i=35,2sin(ωt-106º20')+8,45e-210tA. |
P=Pвх – условие максимальной мощности. Pmax=U2abxx/4Rвх – максимальная мощность. Pполн=UabxxI=U2abxx/(Rвх+R) КПД=P/Pполн=R/(R+Rвх) Закон Ома для участка цепи: I=(U+E)/R φ1=E φ2=φ1 – RI i=Imsin(ωt+ψ) f=1/T ω=2πf c-1 Iср=(2/π)*Im эффективное действительное средне- квадратичное значение Im=Im/√2=0,707 Im Количество теплоты: RIm2*(T/2); RIпост2T Iпост=Im/√2 ejα=cosα+jsinα Комплексная амплитуда: I(.)m=Imejψ (ψ – начальная фаза) Комплекс действ. значения I(.)=I(.)m/√2=Iejψ Сопротивление цепи складывается из сопротивлений элементов: R, jωL, -j/ωC Z=R+jX, модуль комплексного сопротивления: z=√R2+X2 tgφ=X/R На векторной диаграмме U(.)L должно опережать протекающий через нее ток на 90º, а на емкости наоборот отставать на 90º, на сопротивлении R совпадает по фазе. Если в схеме несколько контуров, то для них строится диаграмма по принципу обхода контура. Мгновенные значения: U=RI, UL=L(di/dt), Uc=(1/C)*∫idt. Если применять методы расчета цепей постоянного тока к синусоидальному току, то производят замену значений, в частности сопротивления на Z=R+jX, где комплексная часть получается из-за падений напряжений на L или C. P=Uicosφ (активное) [Вт], Q=Uisinφ(реакт.)[ВАр] S=UI (полная) [ВА], S2=P2+Q2 (прямоугольный треугольник, из него находим угол φ между PиS). Комплекс полной мощности при участке сопряженного комплексного тока I(*): S(~)=U(.)I(*)=UIej(ψu – ψi)=UIejφ=Uicosφ+jUIsinφ= =P+jQ P=ReU(.)I(*) Q=ImU(.)I(*) U(.)=Uejψu I(*)=Ie-jψi φ=ψu - ψi – угол м/у u и i U(.)=E(.) Z=R+jX=zejφ Показания ваттметра Re(UabI(*)), цена деления UI/n[Вт/дел]. Сопротивление Z имеет характер: X>0 – индуктивный, X<0 емкостный, X=0 чиста активный (резонанс!). Чтоб вывести формулу для резонанса в цепи используют 1ый закон Кирхгофа, Z заменяют на проводимость Y=1/Z. Получается I=U(.)Y, мнимую часть приравнивают к нулю. Ic=UωC – ток через конденсатор. Полоса пропускания – граничные частоты ω1,2=(ω0/2Q)*(√1+4Q`±1). Постоянный ток через конденсатор не проходит. ω0 – резонансная частота. Резонанс напряжений наблюдается при последовательном соединении R,L,C. Условие наступления такого резонанса ωL=1/ωC. При этом I=E/R, UL=Uc=ωLI=ωLE/R, ωC/R=√L/C`/R=Q – добротность. ρ=QR – характеристическое сопротивление. Топографическая диаграмма – это даграмма токов и напряжений по осям +1 и +j f(x)=A0+Σ[k=1, ∞] Ak'sinkx + Σ[k=1,∞]Ak''coskx f(x)=A0 + Σ[k=1,∞] Aksin(kx+ψk), tgψk=Ak''/Ak' A0=(1/2π)*∫[0-2π]f(x)dx,Ak'=(1/π)*∫[0-2π]f(x)sinkxdx Ak''=(1/π)*∫[0-2π]f(x)coskxdx, Ak2=Ak'2+Ak'' 2 Свойства периодических кривых: если удовлетворяет –f(x+π)=f(x), значит при разложении в ряд A0=Aчетное'=Aчетное''=0. Если удовлетворяет f(-x)=f(x), то Ak'=0. Если же –f(-x)=f(x), то A0=Ak''=0. Действующие значения U, I находятся как корень из суммы квадратов амплитуд деленных на 2. P=U0I0+U1I1cosφ1+U2I2cosφ2+… (U0,I0 – ампл. зн.) S=UI (U,I – действующие значения) Несинусоидальные токи и напряжения, не содержащие постоянных составляющих, можно заменить эквивалентными синусоидальными. Действующее значение синусоидального тока принимают равным действующему значению несинусоидального напряжения. Угол сдвига фаз φ между между эквивалентными синусоидами напряжения и тока берут таким, чтобы cosφ=P/UI. 3-фазные цепи являются синусоидальными. Провода, соединяющие точки A,B,C генера- тора с нагрузкой, называются линейными. Токи в них называются линейными. Модули этих токов Iл. Модуль – коэффициент перед ejφ. Фазные U – это U генератора. Напряжение между линейными проводами называются линейными U(.)AB. Модуль Uл. При соединении генератора в звезду:Uл=UAB=Uф2cos30º=√3`Uф Iл=Iф. При соединении генератора в ∆: Uл=Uф. При соединении нагрузки в звезду: Iл=Iф При соединении нагрузки в ∆ линейные токи опред. по 1 з.Кирхгофа. Мощность: P=PA+PB+PC+P0. Q=QA+QB+QC+Q0 S2=P2+Q2. Если нагрузка равномерная, то P0=Q0=0 а все остальные составляющие равны: P=3UфIфcosφф, Q=3UфIфsinφф, где φф – угол между U(.)ф на фазе и током I(.)ф фазы нагрузки. S=3UфIф При равномерной нагрузке независимо от способа ее соединения в звезду или ∆: 3UфIф=√3`UлIл=S. Остальные мощности также при переходе ставим вместо тройки √. 4-полюсники бывают взаимные и не взаимные: для взаимных выполняется следующее соотношение: U(.)1/I(.)2=Zпер=U(.)2/I(.)1. Все пассивные являются взаимными. | | |