билет1 (Билеты, ответы и шпоры на экзамен в одном флаконе (ИУ5))
Описание файла
Файл "билет1" внутри архива находится в папке "Билеты, ответы и шпоры на экзамен в одном флаконе (ИУ5)". Документ из архива "Билеты, ответы и шпоры на экзамен в одном флаконе (ИУ5)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "аналитическая геометрия" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "билет1"
Текст из документа "билет1"
Билет№1
-
ОПР. Векторы а1,…,an называют линейно зависимыми, если существует такой набор коэффициентов α1,…,αn что α1a1+…+αnan=0. и при этом хотя бы один из этих коэффициентов ненулевой. Если указанного набора коэф. не сущ. То векторы называют линейно независимыми.
ДОК. Если α1=…=αn=0, то, очевидно, α1a1+…+αnan=0. Имея это в виду, можем сказать так: векторы a1,…,an линейно независимы, если из равенства α1a1+…+αnan=0 вытекает, что все коэффициенты равны 0.
Т. Для того чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них являлся линейной комбинацией остальных.
ДОК. НЕОБХОДИМОСТЬ: Пусть векторы a1,…,an линейно зависимы. Согласно опр слева есть хотя бы один ненулевой коэффициент, например α1.Оставив первое слагаемое в левой части равенства, перенесем остальные в правую часть.Разделив полученное равенство на α1, получим: , т.е. представление вектора a1 в виде линейной комбинации остальных векторов а2,…,an. ДОСТАТОЧНОСТЬ: Пусть, например, первый вектор а1 можно представить в виде линейной комбинации остальных: . Затем получим: , т.е. линейную комбинацию векторов а1,…,an с коэффициентами α1=1, , равную нулевому вектору. В этой линейной комбинации не все коэффициенты равны 0, следовательно векторы линейно зависимы.
-
ОПР. Система m линейных уравнений с n неизвестными (СЛАУ) в линейной алгебре — это система уравнений вида
Уравнение системы называют алгебраическими потому, что левая часть каджого из них есть многочлен от n переменных x1,…,xn,а линейными потому что многочлены имеют первую степень. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.
Решением СЛАУ называются значения x1,…,xn,при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. СЛАУ называется совместной если она имеет какие-л. решения. В обратном случае ее называют несовместной. Однордная СЛАУ всегда совместна.
(Решение СЛАУ можно трактовать в виде линейной комбинации столбцов)
x1a1+…+xnan=b (векторная запись)
Т Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений): Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы
ДОК НЕОБХОДИМОСТЬ:Отметим что ранг матрицы А СЛАУ Ax=b не превосходит ранг расширенной матрицы (A|b) поэтому нам достаточно доказать что ранг этой матрицы не меньше ранга расширенной. Если система совместна,то записывая ее в векторной форме, делаем вывод, что значение неизвстных x1,…,xn такие, что x1a1+…+xnan=b, где ai – столбцы матрицы А, b – столбец свободных членов. Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Выберем какой-л. Базисный минор матрицы А.
С огласно теореме о базисном миноре, базисные столбцы линейно зависимы, в то время как для каждого j>k существуют такие
Поэтому столбец :
Является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы А. => М явл. Базисным минором и в расширенной матрице. Поэтому Rg(A|b)=RgA.
ДОСТАТОЧНОСТЬ:Пусть Rg(A|b)=RgA. Возьмем в матрице A базисный минор М(как и выше). Так как rgB = r, то он же и будет базисным минором и матрицы B. Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Это означает совместность системы.