Занятие 2. Квадратичные формы. Изменение матрицы при переходе к другому базису (Семинары для ИБМ)

Занятие 2. Квадратичные формы. Изменение матрицы при переходе к другому базису. Приведение к каноническому виду методом Лагранжа. Критерий Сильвестра.

Линейные формы. Говорят, что в действительном линейном пространстве L задана линейная форма, если каждому вектору поставлено в соответствие число f(x), причем выполнены условия

f(х + y) = f(х) + f(y),

f(λх) = λf(х), , .

Билинейные формы. Числовая функция А(х, у): , заданная на действительном линейном пространстве L называется билинейной формой, если при фиксированном у она является линейной формой по x, а при фиксированном x − линейной формой по у. Билинейная форма называется симметрической, если А(x, у) = А(y, x), . Если в пространстве L_n фиксирован некоторый базис B = (e₁, ..., e_n), то матрица A = (a_ij), a_ij = А(e_i, e_j) называется матрицей билинейной формы А(х, у) в базисе B.

Квадратичные формы. Пусть А(х, у) − симметрическая билинейная форма. Форма А(х, х), которая получается из А(х, у), если положить у = х, называется квадратичной. При этом А(х, у) называется билинейной формой, полярной к квадратичной форме А(х, x).

Если в действительном линейном пространстве L_n фиксирован некоторый базис B = (e₁, ..., e_n), то квадратичная форма А(х, x) в этом базисе имеет вид

(1)

где A = (a_ij) − матрица квадратичной формы и x = x_ie_i + ... + x_ne_n.

Квадратичная форма А(х, x), определенная в действительном линейном пространстве L_n. называется положительно (отрицательно) определенной, если для всякого ( ) выполняется А(х, x) > 0 (А(х, x) < 0).

Пусть A = (a_ij) − матрица квадратичной формы А(х, x) и

, ,

− последовательность главных миноров матрицы A.

Критерием положительной определенности квадратичной формы является следующее утверждение (критерий Сильвестра): для того чтобы квадратичная форма А(х, x) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы А были положительны, т.е. D_k > 0, k = 1, 2, ..., n. Форма отрицательно определена, если и только если знаки D_k чередуются, начиная с отрицательного, причем D₁ < 0.

Метод собственных векторов. Будем рассматривать квадратичную форму (1) в евклидовом пространстве Rⁿ. Так как ее матрица А = (a_ij) симметрична, то она может быть представлена в виде A = UDU^T где D − диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы A, a U − ортогональная матрица. Столбцы матрицы U являются координатами некоторого ортонормированного базиса, в котором матрица А имеет диагональный вид D, и, следовательно, квадратичная форма − искомый канонический вид. Соответствующее преобразование координат определяется соотношением .

Задачи: ОЛ-1, гл. 4: 4.218–4.225 (четн.), 4.210,4.211 или ДЛ-3, гл. 6: 6.13, 6.15, 6.19, 6.21, 6.23(б), 6.43.

В сдачах 4.218−4.224 определить, какие квадратичные формы являются положительно либо отрицательно определенными, а какие нет:

4.218. .

4.220. .

4.222. .

4.224. .

Методом Лангранжа найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду, для следующих квадратичных форм:

4.210. .

4.211. х₁х₂ + x₂x₃ + х₃х₁.

Домашнее задание: ОЛ-6, гл. 4: 4.218–4.223 (неч.), 4.212 или ДЛ-3, гл. 6: 14, 6.16, 6.20, 6.22, 6.33(а), 6.44.

4.219. .

4.221. .

4.223. .

4.212.

Ответы

4.218. Положительно определенная. 4.219. Отрицательно определенная 4.220. Общего вида. 4.221. Отрицательно определенная 4.222. Положительно определенная. 4.223. Общего вида. 4.224. Положительно определенная.