КИ семинар 2 (Семинары по криволинейным интегралам)
Описание файла
Файл "КИ семинар 2" внутри архива находится в папке "Семинары по криволинейным интегралам". Документ из архива "Семинары по криволинейным интегралам", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "кратные интегралы и ряды" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (криволинейные и кратные интегралы)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "КИ семинар 2"
Текст из документа "КИ семинар 2"
Занятие 2. Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат. Вычисление площадей плоских фигур.
1. Двойной интеграл в полярных координатах. При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат x, y к полярным r, φ, связанным с прямоугольными координатами соотношениями
, 
, имеет место формула
Если область интегрирования D ограничена лучами 
и 
(
) и кривыми 
и 
, где 
и 
(
) ‑ однозначные функции на отрезке 
то двойной интеграл может быть вычислен по формуле
где 
. При вычислении интеграла 
величину φ полагают постоянной.
Если область интегрирования не принадлежит к рассмотренному виду, то ее разбивают на части, каждая из которых является областью данного вида.
2. Двойной интеграл в криволинейных координатах. В более общем случае, если 
‑ непрерывна и в двойном интеграле требуется oт переменит x, у перейти к переменным и, v, связанным с x, у непрерывными и дифференцируемыми соотношениями 
, 
, устанавливающими взаимнооднозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками области D плоскости XOY и точками некоторой области D' плоскости UO'V, и при этом якобиан
сохраняет постоянный знак в области D, то справедлива формула
Пределы нового интеграла определяются по общим правилам на основании вида области D'.
3. Площадь в прямоугольных координатах. Площадь плоской области D равна
Если область определена неравенствами 
, 
, то
4. Площадь в полярных координатах. Если область D в полярных координатах r, φ определена неравенствами , 
,то
Задачи: ОЛ-4 гл. 8 § 1: 8.43, 44, 46, 48, 50, 56, 62, или ОЛ-5: 2160, 2162, 2164, 2166, 2169, 2171, 2180, 2182.
Перейти к полярным координатам r, φ и расставить пределы интегрирования по новым переменным в следующих интегралах:
2160. 
2162. 
, где S − треугольник, ограниченный прямыми y = x, y = −x, y = 1.
2164. , где область S ограничена лемнискатой 
.
2166. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл 
, распространенный на область, ограниченную окружностью x2 + y2 = 2ax.
2169. Переходя к полярным координатам, вычислить 
.
2171. Вычислить двойной интеграл 
, распространенный на область S, ограниченную эллипсом 
, переходя к обобщенный полярным координатам r и φ по формулам: 
, 
2180. Найти площадь, ограниченную параболами y2 = 10x + 25 и y2 = −6x + 9.
2182. Найти площадь, ограниченную прямой r cos φ = 1 и окружностью r = 2. (Имеется в виду область, не содержащая полюса).
Домашнее задание: ОЛ-4 гл. 8 § 1: 8.42, 45, 49, 51, 60, 63, или ОЛ-5: 2161, 2163, 2167, 2170, 2181, 2183.
2167. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл 
, где область интегрирования S − полукруг радиуса a с центром в начале координат, лежащий выше оси OX.
2181. Переходя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную линиями x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4x, y = 0.
2183. Найти площадь, ограниченную кривыми r = a(1 + cos φ) и r =a cos φ (a > 0).
Ответы:
2162. 
,
