ДЗ по дифракции(main) (Пример домашнего задания 1)

Задание.

Плоская волна падает под углом к плоскости диафрагмы.

Рассчитать дифракционную картину в плоскости ;

Условия.

Вид диафрагмы указан на рисунке 1.

Рис. 1.

Числовые данные: , , , , , .

Теоретическая часть.

Дифракция – изменение прямолинейного распространения волны в однородной среде, наблюдаемое при наличии преград, соизмеримых с длинной волны.

Весомый вклад в изучение данного явления внёс Френель, дополнив принцип Гюйгенса, который считал, что каждую точку волнового фронта можно считать центром вторичного источника возмущения, которое вызывает элементарные сферические волны, а волновой фронт в любой более поздний момент точки – огибающей этих волн, утверждением, что вторичные волны интерферируют между собой. Позже Кирхгоф придал этой идее строгий математический вид и показал, что принцип Гюйгенса-Френеля можно считать приближенной формой интегральной теоремы.

В данной работе нас интересует случай дифракции для точечного источника. Рассмотрим дифракционную формулу Френеля-Кирхгофа для этого случая.

На рисунке 2 показана схема для данного случая.

Рис. 2.

Преобразуем данную формулу с учётом некоторых допущений. Расстояния от точек и до экрана велико по сравнению с линейными размерами диафрагмы, поэтому сумма косинусов под интегралом равна 2 (углы близкие к нулю). Так же будем считать, что точка не сильно удалена от оси, поэтому справедливо:

, .

Раскладывая в ряд последнее выражение, получим:

Подставляя в исходную дифракционную формулу преобразованные выражения, имеем:

Обозначим константу, стоящую перед интегралом, как .

Проанализируем выражение, стоящее в показатели экспоненты под интегралом. С учётом того, что расстояние велико по сравнению с величиной картины на экране отношением можно пренебречь, т.е рассматриваем дифракцию Фраунгофера (в противном случае дифракция Френеля).

В итоге получим финальное выражение, которое будем использовать в расчётах:

,

где . - описывает зависимость амплитуды падающей на диафрагму волны от координат в плоскости диафрагмы.

Практическая часть.

Для расчёта дифракционной картины на сложной диафрагме (рис. 1) воспользуемся принципом Бабине: рассмотрим отдельно дифракционные картины, возникающие от круглого и треугольного отверстия. Изначально рассмотрим случай нормального падения, так как не сложно показать, что для случая падения волны под углом падающая амплитуда будет задаваться следующим соотношением:

,

После замены (аналогично ) задача сведётся к нормальному падению. После вычисления интегралов, произведя обратные подстановки, получим конечное выражение для падения на плоскость диафрагмы под углом.

1. Треугольное отверстие.

Для упрощения довольно громоздких выражений буду опускать константу , стоящую перед интегралом в промежуточных вычислениях.

Вычислим интегралы по отдельности.

Первый интеграл:

,

,

,

,

.

Второй интеграл:

,

,

,

,

.

Суммируя полученные выражения от двух интегралов и приводя подобные, имеем:

Воспользовавшись формулой Эйлера ( , ), приведём полученное выражение к виду :

Стоит отметить, что в данном случае начало координат системы диафрагмы совмещено с центром нижней стороны треугольника. Сместим центр координат в геометрический центр треугольника, т.е. опустим треугольник на по оси ординат в сторону отрицательных значений.

.

Отметим, что полученное выражение может быть получено при вычислении суммы следующих интегралов:

.

С учётом нормировочного коэффициента:

.

Полное выражение для данной комплексной амплитуды можно найти в Maple-файле.

2. Круглое отверстие.

Для нахождения комплексной амплитуды на экране в случае круглого отверстия воспользуемся уже известной дифракционной формулой, перейдя к полярным координатам:

,

где - функция Бесселя I-го рода 0-го порядка.

Из свойств функции Бесселя известно, что искомый интеграл может быть найден в виде:

,

где - функция Бесселя I-го рода 1-го порядка.

Отметим, что из геометрических соображений следует, что

.

Итоговое выражение для комплексной амплитуды от круглого отверстия будет выглядеть следующим образом:

.

С учётом нормировочного члена:

Воспользуемся принципом Бабине и вычислим комплексную амплитуду для сложной диафрагмы:

.

Полные выражения так же можно найти в Maple-файле.

Интенсивность в данном случае найдём из известного соотношения:

Для получения финального выражения для интенсивности стоит произвести замену, обратную той, которую мы сделали в начале наших вычислений:

; .

График распределения интенсивности представлен в математическом пакете Maple в двух видах: объёмное распределение и плотность распределения (рис. 3).

Рис. 3.