Гл3(стр37-44) (Какой-то учебник по физике)

46

3. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА

3.1. Дифракция света и условия ее наблюдения

Дифракцией света называется явление огибания световыми волнами препятствий или, другими словами, отклонение волн от первоначального распространения в средах с резко выраженными оптическими неоднородностями, размеры которых сопоставимы с длиной волны.

Рис.3.1

Если на пути света, испускаемого источником S, поставить непрозрачный экран с малым отверстием, то световые волны отклоняются от прямолинейного пути распространения. Свет, огибая края отверстия, распространяется в область геометрической тени, и на экране Э (рис. 3.1а) получится более широкое светлое пятно, чем это следует из геометрических построений.

Точно так же, если на пути света поместить непрозрачный круглый диск малого диаметра (рис.3.1б), то за центром диска в точке А на экране получим светлое пятно, интенсивность которого быстро уменьшается по мере увеличения размера диска. Вне геометрической тени получается система концентрических светлых и темных колец.

3.2. Принцип Гюйгенса-Френеля

Рис. 3.2

Явление дифракции может быть объяснено с помощью принципа Гюйгенса, согласно которому каждая точка, до которой доходит волновое возмущение в момент времени t, является центром вторичных волн. Огибающая этих волн дает положение фронта волны в момент времени t+dt (рис.3.2).

Пусть на плоскую преграду с отверстием (рис.3.3) падает волна с параллельным преграде фронтом. По Гюйгенсу каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит центром испускания вторичных волн, которые в однородной и изотропной среде будут сферическими. Построив огибающую вторичных волн, мы убеждаемся в том, что за отверстием волна проникает в область геометрической тени, огибая края преграды.

Рис. 3.3

Однако принцип Гюйгенса не дает никакой информации об амплитуде, а следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях. Этот недостаток был устранен Френелем, дополнившим принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн, которые являются когерентными, т.к. исходят из одного источника. Учет фаз и амплитуд этих вторичных волн позволяет найти амплитуду результирующей волны в любой точке пространства.

С помощью принципа Гюйгенса-Френеля удалось объяснить целый ряд дифракционных явлений, а также устранить одно из основных затруднений волновой теории света - показать, как согласуется волновая природа с наблюдающимся на опыте прямолинейным распространением света.

Рис.3.4

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля каждый элемент dS волновой поверхности служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой удовлетворяет следующим условиям: она пропорциональна площади dS и убывает с расстоянием от источника по закону 1/r. От каждого участка dS волновой поверхности в точку наблюдения B (рис.3.4) приходит световое колебание

, (3.1)

где (t+₀) и E₀- фаза и амплитуда колебаний в месте, где расположен элемент dS, r - расстояние от элемента dS до точки B, k=2/ - волновое число. Коэффициент пропорциональности С() убывает при увеличении угла между нормалью к dS (вектором ) и вектором , причем С(0)=1, С(/2)=0.

Результирующее световое колебание в точке наблюдения представляет собой суперпозицию колебаний, дошедших в точку В от всех элементов поверхности S:

. (3.2)

Эта формула является аналитическим выражением принципа Гюйгенса-Френеля. Однако вычисления с использованием формулы (3.2) в общем случае чрезвычайно трудны и даже для простейших объектов (дифракция на круглом отверстии, прямоугольной щели) требуют использования нетривиальных численных методов.

Френель показал, что в ряде случаев нахождение результирующей амплитуды может быть осуществлено простым алгебраическим или геометрическим суммированием.

3.3. Метод зон Френеля

Применим принцип Гюйгенса-Френеля для нахождения амплитуды светового колебания, возбуждаемого в точке В сферической волной, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S. Для этого разобьем волновую поверхность на кольцевые зоны, называемые зонами Френеля, построенные таким образом, что расстояние от краев соседних зон до точки наблюдения В отличается на половину длины волны /2 (рис.3.5).

Рис.3.5

Расстояние от краев соседних зон до точки наблюдения будут равны: М₁В=b+/2, М₂В=b+2/2 и т.д., в том числе для k-й зоны М_kВ=b+k/2, где b - расстояние от вершины волновой поверхности О до точки наблюдения В.

Из формулы (3.2) следует, что амплитуды световых колебаний пропорциональны площади соответствующего участка волновой поверхности. Для оценки амплитуды колебаний, создаваемых зонами Френеля, определим площади этих зон.

Рис. 3.6

Внешняя граница k-й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высоты h_k (рис.3.6). Площадь k-го сегмента S_k равна S_k=2ah_k, а площадь (k-1)-го, S_k-1=2ah_k-1 где а - радиус волновой поверхности. Тогда площадь k-й зоны можно записать в виде

S_k=S_k  S_k-1. (3.3)

Из рис.3.6 видно, что

, (3.4)

где r_k - радиус k-й зоны Френеля (точнее, ее внешней границы). Так как h_k<<a,b то из (3.3) следует:

,

или, для не слишком больших значений k

. (3.5)

Следовательно,

, (3.6)

а из (3.3) и (3.6) получаем, что площадь k-й зоны

, (3.7)

т.е. площади зон Френеля не зависят от k и одинаковы для не слишком больших значений k.

Таким образом, зоны Френеля излучают вторичные волны с примерно одинаковой амплитудой.

Рассмотрим действия зон в точке наблюдения. Обозначим амплитуду волны, дошедшей до точки наблюдения от центральной зоны как E₁, от следующей - как E₂ и т.д.

Поскольку колебания, приходящие в точку наблюдения B от разных зон, будут иметь в среднем разность хода /2 и, следовательно, разность фаз , то результирующее колебание Е получим, суммируя величины Е₁, Е₂, Е₃ и т.д. с учетом разных знаков этих величин у четных и нечетных зон:

Е = Е₁-Е₂+Е₂-Е₃+Е₄- ... = Е₁-(Е₂-Е₃)-(Е₄-Е₅)- ... (3.8)

Амплитуда дошедших до точки световых колебаний от каждой из зон убывает с увеличением номера зоны как из-за увеличения угла между нормалью к волновой поверхности и направлением на точку наблюдения, так и из-за увеличения расстояния (b + k/2) до точки B. Тогда можно записать, что

Е₁ > Е₂ > Е₃ > Е₄ > Е₅ >... . (3.9)

Из (3.8) и (3.9) следует, что

Е < Е₁ . (3.10)

Перепишем ряд (3.8) в виде

... (3.11)

Так как величина

, (3.12)

то из (3.11) и (3.12) получается

. (3.13)

Таким образом, действие всей волновой поверхности эквивалентно половине действия центральной зоны Е₁.

Из (3.4) можно получить выражение для радиусов зон Френеля

. (3.14)

Для плоской волны, устремляя , получим

. (3.15)

В частности, для a=b=1 м и =0.5 мкм (зеленый свет) расчет дает r₁0.5 мм, S<1 мм² .

Следовательно, свет от источника к точке наблюдения распространяется как бы в пределах очень узкого прямого канала - луча. Мы видим, что широко используемое в геометрической оптике понятие луча вытекает из теории дифракции.

3.4. Метод графического сложения амплитуд

Разобьем волновую поверхность на равные по площади кольцевые подзоны, аналогичные зонам Френеля, но гораздо меньше по ширине. Колебание, создаваемое в точке наблюдения каждой такой подзоной, можно изобразить в виде вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, а угол, образуемый вектором с направлением, принятым за начало отсчета, дает начальную фазу колебаний. Колебание, создаваемое в точке В любой из таких подзон, имеет приблизительно такую же амплитуду, как и колебание, создаваемое предшествующей подзоной, но будет отставать от него на практически одинаковую для всех соседних подзон величину. На рис.3.7а изображена векторная диаграмма, получающаяся при сложении колебаний для действия одной центральной зоны, а на рис.3.7б - для действия всей волновой поверхности.

Если бы при переходе от зоны к зоне амплитуда оставалась постоянной, конец последнего из векторов совпадал бы с началом первого вектора. В действительности, амплитуда слабо у

1

1

бывает и векторы образуют не замкнутую фигуру, а ломанную спираль. Если ширину кольцевых зон устремить к нулю, векторная диаграмма примет вид спирали, закручивающейся к центру С (рис.3.7б). Фазы колебаний в точках 0 и 1 отличаются на , т.е. участок 0-1 соответствует первой зоне Френеля. Вектор, проведенный из точки 0 в точку 1, изображает колебание, возбуждаемое в точке В этой зоной (рис.3.8а). Вектор 1-2 (рис.3.8б) изображает колебание, возбуждаемое второй зоной Френеля. Колебания от первой и второй зон находятся в противофазе, векторы 0-1 и 1-2 направлены в противоположные стороны (рис.3.8а,б). Колебание, возбуждаемое всей волновой поверхностью, изобразится вектором 0С (рис.3.8в). Видно, что амплитуда в этом случае равна половине амплитуды, создаваемой первой зоной. Ранее этот же результат был получен алгебраически. На рис.3.8г вектор 0Р изображает колебание, создаваемое внутренней половиной первой зоны, а вектор Р-1 - внешней половиной первой зоны.

Рис.3.7

Рис.3.8