analyzeCourseII(3) (Матан пример решения типовика в MathWorks)

Московский институт радиотехники, электроники и автоматики

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕМЕ «РЯДЫ»

Студента факультета ВАВТ, группы ВСС-1-02

Чередина В.

МОСКВА 2004 г.

ЗАДАЧА 1. Исследовать на сходимость числовой ряд с положительными членами.

Дано: .

Решение: вычислим предел общего члена при (необходимый признак сходимости). Имеем:

- следовательно, ряд сходится.

Ответ: - сходится.

ЗАДАЧА 2. Установить является ли знакочередующийся ряд сходящимся абсолютно, сходящимся условно или расходящимся.

Дано: .

Решение: Ряд, составленный из абсолютных величин, сходится:

применив признак Даламбера, проверим на сходимость знакочередующийся ряд, имеем:

Следовательно:

Ответ: сходится абсолютно.

ЗАДАЧА 3. Найти интервал сходимости степенного ряда . Исследовать сходимость ряда на концах интервала.

Дано: .

Решение: найдем радиус области сходимости:

Исследуем сходимость ряда на концах интервала:

При , имеем ряд:

применив признак Даламбера, проверим на сходимость ряд, имеем:

Следовательно, ряд сходится.

При , имеем ряд:

применив признак Даламбера, проверим на сходимость ряд, имеем:

Следовательно, ряд сходится.

Ответ: ряд имеет интервал сходимости .

ЗАДАЧА 4. Разложить функцию в степенной ряд по степеням , используя известные разложения элементарных функций в ряд Тейлора. Указать область сходимости полученного ряда.

Дано: .

Решение: разложим в ряд Тейлора по степеням х, имеем:

Заменим х на (х -1), получим:

найдем радиус области сходимости:

Следовательно: область сходимости полученного ряда .

Ответ:

область сходимости ряда .

ЗАДАЧА 5. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить определенный интеграл с точностью .

Дано: .

Решение: разложим в ряд Тейлора по степеням х, имеем:

Подставляя значения, получаем:

Ответ: .