analyzeCourseI(1) (Матан пример решения типовика в MathWorks)
Описание файла
Файл "analyzeCourseI(1)" внутри архива находится в папке "Матан пример решения типовика в MathWorks". Документ из архива "Матан пример решения типовика в MathWorks", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "analyzeCourseI(1)"
Текст из документа "analyzeCourseI(1)"
Московский институт радиотехники, электроники и автоматики
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕМЕ «ПРЕДЕЛ И ПРОИЗВОДНАЯ»
Студента факультета ООЗП УПОУ, группы ОТО-4-02
Чередина Вениамина.
МОСКВА 2002 г.
ЗАДАЧА 1. Вычислить 
.
Дано: 
, 
.
Решение:
Для того чтобы найти 
, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень 
, то есть на 
:
.
Ответ: 
.
ЗАДАЧА 2. Вычислить , используя второй замечательный предел.
Дано: 
, .
Решение:
Для того чтобы найти с использованием второго замечательного предела делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть:
;
Преобразуя функции так, чтобы использовать второй замечательный предел, получим
.
Учитывая, что 
, находим
.
Ответ: .
ЗАДАЧА 3. Вычислить 
с помощью замены бесконечно малых на эквивалентные.
Дано: 
.
Решение:
;
учитывая, что 
, и произведя замену бесконечно малых на эквивалентные 
, 
получим
.
Ответ: 
.
З
АДАЧА 4. Найти точки разрыва функции 
. Определить характер разрывов.
Дано: 
.
Решение:
Функция 
будет определена в
интервале 
. Точками разрыва будут
являться 
и 
.
Определим характер точек разрыва.
1) :
, 
. Таким образом, при функция не имеет ни левого, ни правого конечного предела. Следовательно, является точкой разрыва II рода.
2) : 
, 
. Таким образом, при 
функция не имеет ни левого, ни правого конечного предела. Следовательно, является точкой разрыва II рода.
Ответ: имеет две точки разрыва: , . Обе точки являются точками разрыва II рода.
ЗАДАЧА 5. Найти производную функции 
.
Дано: 
.
Решение:
, тогда
1) 
;
2) 
;
3) Для нахождения производной 
прологарифмируем обе части равенства 
. Получим 
. Продифференцируем обе части последнего равенства по . Так как 
является функцией от , то 
есть сложная функция и 
. Следовательно,
;
имеем
.
Ответ: .
ЗАДАЧА 6. Найти производную 
функции, заданной параметрически: 
.
Дано: 
, 
.
Решение:
1) 
;
2) 
.
Ответ: 
.
ЗАДАЧА 7. Найти производную неявной функции, заданной уравнением 
.
Дано: 
.
Решение:
Так как 
является функцией от , будем рассматривать 
и 
как сложные функции от . Следовательно, 
и 
. Имеем:
.
Ответ: .
ЗАДАЧА 8. Вычислить с помощью дифференциала приближенное значение числа 
.
Дано: 
.
Решение:
Известно, что если приращение 
аргумента мало по абсолютной величине, то 
и 
. Таким образом, полагая 
, а 
, имеем:
.
Ответ: 
.
ЗАДАЧА 9. Определить, в каких точках заданной линии 
касательная к этой линии параллельна прямой 
, и написать уравнение этой касательной.
Дано: 
, 
.
Решение:
Определим выражение тангенса угла наклона касательной к кривой. Он будет равен производной функции. Так как является функцией от , будем рассматривать как сложную функцию от . Следовательно, 
.
По условию параллельности прямых на плоскости следует 
, то есть 
, тогда: 
, то есть через точку 
будет проходить касательная к параллельная 
. Таким образом, уравнение этой касательной, проходящей через будет иметь вид:
.
Ответ: точка , уравнение касательной, проходящей через : 
.
