LinearAlgebraCourseI (Матан пример решения типовика в MathWorks)

Московский институт радиотехники, электроники и автоматики

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Студента факультета ООЗП УПОУ, группы ОТО-4-02

Чередина Вениамина.

МОСКВА 2002 г.

ЗАДАЧА 1. Для пирамиды с вершинами в точках найти:

Дано: .

а) Длину ребра .

Решение:

.

Ответ: .

b) Угол между ребрами и ;

Решение:

Уравнение прямой, проходящей через точки и имеет вид:

, следовательно, направляющий вектор имеет координаты .

Уравнение прямой, проходящей через точки и имеет вид: , следовательно, направляющий вектор имеет координаты . Теперь найдем косинус угла между векторами и , который равен косинусу угла между направляющими векторами:

.

Ответ:

с) Уравнение плоскости ;

Решение:

- направляющий вектор для , - направляющий вектор для .

Следовательно, вектор нормали к плоскости будет равен векторному произведению :

;

тогда уравнением плоскости , содержащей точку , будет:

Ответ:

d) Площадь грани ;

Решение:

Известно, что , имеем , ;

.

Ответ: кв. единиц.

e) Угол между ребром и плоскостью ;

Решение:

Найдем угол между ребром и вектором нормали к . Имеем: , ; Следовательно:

, угол между ребром и плоскостью будет равен .

Ответ: .

f) Уравнение высоты, опущенной из точки на грань ;

Решение:

, , значит, уравнение имеет вид:

.

Ответ: .

g) Объём пирамиды .

Решение:

Известно, что

.

Ответ: куб. единиц.

ЗАДАЧА 2. Решить систему линейных уравнений тремя способами:

Дано: ;

a) Методом Гаусса:

составим расширенную матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов:

, что соответствует

;

b) Методом Крамера:

найдем определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных:

, - определенная система. Далее найдем определители, поочередно заменяя столбцы при соответствующих неизвестных на столбец свободных членов:

;

;

;

в результате имеем:

; ; ; ;

c) Записать систему в матричной форме:

Решение:

Пусть:

; ; , тогда . Найдем по методу Гаусса:

, тогда

, .

Ответ: .

ЗАДАЧА 3. Найти все комплексные корни заданного уравнения. Отметить найденные корни на комплексной плоскости.

Дано: .

Решение:

, пусть , тогда , так как , для извлечения квадратного корня запишем комплексные числа в тригонометрическом виде. Так как:

и , где , находим

1) для : ,

, где .

Тогда по формуле Муавра:

, где , имеем:

;

.

2) для : ,

, где .

Тогда по формуле Муавра:

, где , имеем:

;

.

Graphic’s here!

Ответ: , , , .

ЗАДАЧА 4. Решить матричные уравнения и .

Дано: , .

Решение:

a) , найдем обратную матрицу по методу Гаусса:

, тогда

.

Ответ: .

b) , имеем , тогда

.

Ответ: .

ЗАДАЧА 5. Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, действующего в двумерном пространстве, если известна его матрица в некотором базисе .

Дано: .

Решение:

Составим характеристическое уравнение

, или ;

корни уравнения и являются собственными числами.

Собственный вектор, соответствующий найдем из системы уравнений

, тогда, полагая, что , собственный вектор для есть ;

Собственный вектор, соответствующий найдем из системы уравнений

, тогда, полагая, что , собственный вектор для есть .

Ответ: , ; , .