21. Разностные уравнения. Линейные разностные уравнения. (Ответы на некоторые вопросы)
Описание файла
Файл "21. Разностные уравнения. Линейные разностные уравнения." внутри архива находится в папке "Ответы на некоторые вопросы". Документ из архива "Ответы на некоторые вопросы", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "21. Разностные уравнения. Линейные разностные уравнения."
Текст из документа "21. Разностные уравнения. Линейные разностные уравнения."
21. Разностные уравнения. Линейные разностные уравнения.
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ — уравнения, содержащие конечные разности искомой функции. (Конечная разность определяется как соотношение, связывающее дискретный набор значений функции y = f(x), соответствующих дискретной последовательности аргументов x1, x2, ..., xn.) В экономических исследованиях значения величин часто берутся в определенные дискретные моменты времени. Напр., о выполнении плана судят по показателям на конец планируемого периода. Поэтому вместо скорости изменения какой-либо величины df/dt приходится брать среднюю скорость за определенный конечный интервал времени Δf/Δt. Если выбрать масштаб времени так, что длина рассматриваемого периода равна 1, то скорость изменения величины можно представить как разность
y = y(t+1) – y(t),
которую часто называют первой разностью. При этом различают правую и левую разности, в частности
y = y(t) – y(t–1)
— левая, а приведенная выше — правая. Можно определить вторую разность:
Δ(Δy) = Δy(t + 1) – Δy(t) = y(t + 2) –
– 2y(t + 1) + y(t)
и разности высших порядков Δn.
Теперь можно определить Р. у. как уравнение, связывающее между собой конечные разности в выбранной точке:
f [y(t), Δy(t), ..., Δny(t)] = 0.
Р. у. всегда можно рассматривать как соотношение, связывающее значения функции в ряде соседних точек
y(t), y(t+1), ..., y(t+n).
При этом разность между последним и первым моментами времени называется порядком уравнения.
При численном решении дифференциальных уравнений их часто заменяют разностными. Это возможно, если решение Р. у. стремится к решению соответствующего дифференциального уравнения, когда интервал Δt стремится к нулю.
При исследовании функций многих переменных по аналогии с частными производными (см. Производная) вводятся также частные разности.
Линейные разностные уравнения первого порядка
y(x + 1) − ay(x) = 0. Линейное однородное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.
y(x + 1) − ay(x) = f(x). Линейное неоднородное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.
y(x + 1) − xy(x) = 0.
y(x + 1) − a(x − b)(x − c)y(x) = 0.
y(x + 1) − R(x)y(x) = 0, где R(x) -- рациональная функция.
y(x + 1) − f(x)y(x) = 0.
y(x + a) − by(x) = 0.
y(x + a) − by(x) = f(x).
y(x + a) − bxy(x) = 0.
y(x + a) − f(x)y(x) = 0.
Линейные разностные уравнения второго порядка, yn = y(n)
yn+2 + ayn+1 + byn = 0. Линейное однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
yn+2 + ayn+1 + byn = fn. Линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
y(x + 2) + ay(x + 1) + by(x) = 0. Линейное однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
y(x + 2) + ay(x + 1) + by(x) = f(x). Линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
y(x + 2) + a(x + 1)y(x + 1) + bx(x + 1)y(x) = 0.