Д.У.Пособие5 (дифференциальные уравнения - пособие)
Описание файла
Файл "Д.У.Пособие5" внутри архива находится в папке "дифференциальные уравнения - пособие". Документ из архива "дифференциальные уравнения - пособие", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Д.У.Пособие5"
Текст из документа "Д.У.Пособие5"
50
Часть 5. Пример решения варианта конкретного задания.
1.Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными
Тогда ,
. Заметим, что
. Разделяем переменные:
Интегрируя правую и левую части, получаем
После вычисления интегралов имеем: .
2.Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Данное уравнение является однородным. Будем искать неизвестную функцию в виде
. Тогда
. Подставляя
и
в исходное уравнение, получаем:
Полученное уравнение преобразуем к виду
Разделяем переменные
Интегрируем правую и левую части
(В нашем случае произвольную постоянную удобнее обозначить не С, а , где
). Вычисляя интегралы в правой и левой частях уравнения, получаем
Потенцируя, имеем
Избавляясь от знака модуля, получаем
Поскольку , то полученное соотношение может быть представлено в виде
Данное выражение преобразуем к виду
Заметим, что в уравнении , выражение
при
. Следовательно, функция
является решением дифференциального уравнения для неизвестной функции
, а значит, функция
является решением исходного дифференциального уравнения.
Решение содержится в решении
, если положить С=0.
Ответ: , где С – произвольная постоянная.
3.Найти решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(0)=1.
Вначале найдем общее решение этого уравнения. Будем искать в виде
. Тогда
=
. Подставляя
и
в исходное уравнение, получаем:
+
;
.
Выберем функцию из условия
. Уравнение для функции
является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение:
,
;
;
;
.
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид
Произвольную постоянную С определим из условия :
.
4.Найти решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(0)=2.
Данное уравнение является уравнением Бернулли. Будем искать в виде
. Тогда, подставляя
и
в исходное уравнение, получим
. Функцию
определяем из условия:
;
;
;
;
. Определим
:
;
;
+С;
;
.
Следовательно, общее решение имеет вид .
Из условия определяем произвольную постоянную С:
; С=0.
5.Найти общее решение дифференциального уравнения
Это уравнение явно не содержит y . Обозначим . Тогда:
. Подставляя в исходное уравнение, получаем
Уравнение для определения функции линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать
в виде
. Тогда
=
. Подставляя
и
в исходное уравнение, получаем:
+
;
.
Выберем функцию из условия
. Уравнение для функции
является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение:
,
;
;
;
.
Тогда для функции имеем выражение
где - произвольные постоянные.
6.Найти решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальным условиям y(0)= ,
.
Так как исходное уравнение явно не содержит независимую переменную , будем искать
в виде
. Тогда
.
Подставляя и
в исходное уравнение, получаем
Полученное для уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение:
,
,
,
. Определим произвольную постоянную С. Так как по условию при
имеем
, а
, то
при
. Тогда
, С=
. Следовательно,
или
. Знак плюс при извлечении корня выбран потому, что
- положительное число. Неизвестную функцию
определяем из уравнения
. Найдем его решение:
,
,
,
. Так как
, то
,
. Следовательно,
,
.
7.Найти решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальным условиям .
Найдем решение однородного уравнения. Составляем характеристическое уравнение: . Найдем его корни:
.
Однородное уравнение имеет два линейно независимых решения
и
. Частное решение
ищем в виде
, где функции
и
удовлетворяют системе уравнений:
Находим и
:
,
. Для нахождения первого интеграла сделаем замену переменной
. Тогда
,
. Подставляя в выражение для интеграла, получаем
При вычислении второго интеграла сделаем аналогичную замену переменных.
Общее решение однородного уравнения равно: .
Общее решение исходного уравнения запишется в виде:
Найдем производную общего решения:
Для определения и
имеем систему уравнений
Решая эту систему, получаем
Тогда
8.Найти общее решение дифференциального уравнения
Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Составляем характеристическое уравнение
. Найдем его корни:
;
;
.
Общее решение однородного уравнения запишется в виде: .
Исходное уравнение имеет правую часть первого типа: ,
,
. Число
не встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=0. Будем искать
в виде
=
, где
- многочлен второй степени. Тогда
=
. Коэффициенты А , В и С определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению. Найдем
:
;
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Приводим подобные в левой части уравнения:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях, получаем:
Следовательно А=1, В=0, С=3. Тогда частное решение запишется в виде =
.
Следовательно, общее решение исходного уравнения равно:
9.Найти решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальным условиям .
Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составляем характеристическое уравнение: . Найдем его корни:
;
;
.
Общее решение однородного уравнения запишется в виде: .
Найдем частное решение. Правую часть представим как сумму двух функций и
, где
=
,
.
Рассмотрим уравнение
Функция =
соответствует правой части первого типа:
,
, n=1. Число =1 не встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=0. Будем искать
в виде
=
, где
- многочлен первой степени. Тогда
=
. Коэффициенты А и В определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению. Найдем
:
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Сокращаем правую и левую части на и приводим подобные в левой части:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях, получаем:
. Следовательно А=1, В=0. Тогда частное решение запишется в виде
=
.
Рассмотрим уравнение
Функция =
соответствует правой части первого типа:
,
, n=0. Число =2 один раз встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=1. Будем искать
в виде
=
, где
- многочлен первой степени. Тогда
=
. Коэффициенты А и В определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению. Найдем
:
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Сокращаем правую и левую части на и приводим подобные в левой части:
Следовательно А=1. Тогда частное решение запишется в виде =
.
Общее решение уравнения равно
.
Найдем производную общего решения:
Для определения и
имеем систему уравнений