д.у. (дифур 3 вар)
Описание файла
Файл "д.у." внутри архива находится в папке "дифур 3 вар". Документ из архива "дифур 3 вар", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "д.у."
Текст из документа "д.у."
Задача 1. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.
Решение.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные 
, 
, 
. Интегрируем левую и правую части 
, получим общее решение исходного уравнения 
, 
.
Ответ: 
.
Задача 1. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.
Решение.
Это однородное уравнение. Преобразуем уравнение, разделив обе части уравнения на 
, получим 
. Сделаем замену 
, 
тогда 
. Подставим вместо 
и 
в уравнение, получим: 
, 
, 
, 
. Разделим переменные 
, 
. Интегрируем левую и правую части 
. Вычислим сначала каждый из интегралов:
а) 
;
б) 
.
Тогда общее решение уравнения 
равно: 
, 
.
Сделаем обратную замену, получим общее решение исходного уравнения: 
, 
, 
.
Ответ: 
.
Задача 3. Решить задачу Коши
Решение.
Это дифференциальное уравнение первого порядка. Найдем сначала общее решение однородного уравнения 
. Разделим переменные: 
, 
. Интегрируем левую и правую части 
, получим общее решение однородного уравнения: 
, 
.
Общее решение исходного уравнения будем искать в виде 
. Дифференцируем 
. Подставим в место и в исходное уравнение, получим:
;
;
.
Интегрируем 
. Общее решение исходного уравнения равно 
.
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию 
, получим: 
, 
, 
. Частное решение равно 
.
Ответ: .
Задача 4. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка
Решение.
Это уравнение допускающее понижение порядка. Сделаем замену 
, где 
, тогда 
. Получим уравнение 
, 
, 
.
Найдем сначала общее решение однородного уравнения 
. Разделим переменные: 
, 
. Интегрируем левую и правую части 
, получим общее решение однородного уравнения: 
, 
.
Общее решение уравнения 
будем искать 
. Дифференцируем 
. Полученные выражения для 
и 
в уравнение, получим:
;
.
Интегрируем 
. Тогда общее решение уравнения равно 
.
Сделаем обратную замену, получим уравнение 
. Разделим переменные: 
, 
. Интегрируем левую и правую части 
, получим 
.
Ответ: .
Задача 5. Найти общее решение уравнения 
, используя характеристическое уравнение и метод вариации произвольных постоянных.
Решение.
Найдем сначала общее решение однородного уравнения 
. Составим характеристическое уравнение 
. Корни уравнения равны 
. Тогда общее решение однородного уравнения равно 
.
Общее решение исходного уравнения будем искать в виде 
методом вариации постоянных.
Значение 
и 
найдем из системы уравнений:
Интегрируем первое уравнение, получим 
. Интегрируем второе уравнение, получим 
.
Тогда общее решение исходного уравнения равно:
.
Ответ: 
Задача 6. Операторным методом найти решение задачи Коши.
, 
, 
.
Решение.
Пусть 
, тогда по правилу дифференцирования оригинала имеем 
и 
.
По таблице основных оригиналов и их изображения 
.
Тогда получим уравнение: 
, 
, 
.
Представим дробь 
в виде суммы простых дробей, т.е. 
. Найдем коэффициенты 
и 
:
;
;
.
Получим систему уравнений и найдем ее решения:
Имеем представление 
.
По таблице основных оригиналов и их изображения: 
, 
и 
.
Тогда частное решение равно 
.
Ответ: 
.
Задача 7. Решить задачу Коши для системы уравнений
с начальными условиями 
, двумя способами: методом исключения неизвестных и операторным методом.
Решение.
а) Методом исключения неизвестных.
Из первого уравнения системы выразим через и 
. получим: 
. Дифференцируем 
.
Полученные выражения и 
подставим во 2-ое уравнение системы, получим: 
, 
.
Получим линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Запишем характеристическое уравнение 
. Корни этого уравнения 
. Тогда общее решение равно 
.
Вычисли производную функции 
, получим: 
.
Подставим выражения вместо и в уравнение , получим: 
Общее решение системы уравнений равно: 
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям и , получим:
;
.
Тогда получим систему уравнений и найдем ее решение:
Частное решение системы уравнений равно: 
б) Операторным методом.
Пусть 
и 
, тогда 
и 
. Тогда получим систему:
Преобразуем дроби 
и 
.
Используя таблицу основные оригиналы и их изображения 
и 
, получим искомое решение системы: 
.
Ответ:
