шпорка (Шпаргалка), страница 4
Описание файла
Файл "шпорка" внутри архива находится в папке "Шпаргалка". Документ из архива "Шпаргалка", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "линейная алгебра" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "шпорка"
Текст 4 страницы из документа "шпорка"
Евклидово пространство. Пусть Е – вещественное линейное пространство и пусть каждый вектор x,y 
Е поставлен в соответствующее число x,y число =(x,y) и называется абстрактным скалярным произведением, причем так, что выполняются следующие условия: 1) (x,y)=(y,x); 2) (x1+x2, y)=(x1,y)+(x2,y); 3) (
x,y)= (x,y); 4) (x,x)>0 
0<>x E; Тогда Е называется евклидовым пространством вещественным линейным с заданной на нем симметричной определенной билинейной формой, называемой абстрактным, скалярным произведением. 1) Е=V (x,y)=det x*y=|x||y|cos(xy)^; 2) E=R3, x = (x1/x2/x3), y=(y1/y2/y3) A=
; (x,y) = 
=xtAy; 1),2),3) - выполнено очевидно, 4) выполнено из-за критерия Сильвестра. 3) L=Rn; A=
; - симметрична (Аt=A); x = (x1/…/xn), y=(y1/…/yn); (x,y) = =xtAy; Условия 1, 2, 3 – очевидно. Все 
i >0 => выполняется 4. А=Е=(x,y)=x1y1+x2y2+…+xnyn.
Билет №25 Неравенство Коши – Буняковского и треугольника.
Каноническое скалярное произведение в Rn :
E(x,y) x E sqrt(x,x)=||x|| - норма вектора x E; 1) ||x||>=0 и =0 x=0; 2) || x||=|| ||x||; Док-во: || x||=sqrt( x, x), sqrt( 2(x,x))= sqrt( 2)sqrt(x,x)=| |||x||; 3) Неравенство Коши – Буняковского. E, (x,y); |(x,y)|<=||x|| ||y|| [(x,y)2 <=(x,x)(y,y)]. Док-во: t R 0<=(tx+y, tx+y) = t2 (x,x)+(y,tx)+(tx,y)+(y,y)=t2(x,x)+t(y,x)+t(x,y)+(y,y)=t2(x,x)+2t(x,y)+(y,y). Итак t2(x,x)+2t(x,y)+(y,y)>=0 t R; D=4(x,y)2-4(x,x)(y,y)<=0; (x,y)2<=(x,x)(y,y), ч.т.д. 4) Неравенство треугольника. ||x+y||2 = ||x|| + ||y||; Док-во: ||x+y||2=(x+y,x+y)=(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y)=||x||2 + 2(x,y)+||y||2<=||x||2+2||x||||y||+||y||2=(||x||+||y||)2 =>sqrt||x+y||<=||x||+||y||, ч.т.д.; |(x,y)|<=||x||||y|| & (x,y) <= |(x,y)|}=> (x,y) <=||x||||y||;
Билет №26 Ортогональные и ортонормированные системы, метод ортогонализации.
1) x,y E, (x,y)=0; x и y ортогональны x
y 2) Угол между векторами cos(x,y)^=det
; Замечание: | |<=1 см. неравенство К-Б; косинус угла определен корректно. 3) E, x1, x2, …,xn – собственные вектора ортогональной системы (xi,xj)=0 i<>j; 4) Ортонормированная система (о.н.с.) x1,…,xn – о.н.с. (xi, xj)={0, при i<>j; &1, при i=j. Док-во: E Э x1,…,xn – ортогональная система. a1x1+ a2x2+…+ anxn=0; (x1,a1x1+ a2x2+…+ anxn)=(x1,0) Все xi<>0 Алгоритм ортогонализации Грамма – Шмидта. Dim L=n f1,…,fn – произвольный базис в Е; f1,f2,…,fn 
e1,…,en – ортонормированный базис. Замечание (нормировка) E Э x<>0 xo= x/||x||; ||xo||=1; 1 шаг) e1=(f1)o; 2 шаг) e2=(f2-(f2,e1)e1)o; Проверка e1 e2; (e1,f2-(f2,e1)e1)=(e1,f2) – (f2,e2)(e1,e1)(=1)=0, ч.т.д. ( )o не меняет дело. 3 шаг) e1, e2 уже построены; 1= (e1,e2)=(e2,e2); (e1,e2)=0; e3=((f3-(f3,e1)e1-(f3,e2)e2)o)(=g3); e1 g3; e2 g3 (e1,g3)=(e1,f3)-(f3,e1)(e1,e1)(=1)-(f3,e2)(e1,e2)=0; (e2,g3)=…=0 => e3 e1, e2, и.т.д. k-й шаг) е1,e2,e3,…,ek-1 –уже построены. ek =(fk-
) проверка ортогонализации еk e1,e2,…,ek-1 k=n => end;
Билет №27/28 Симметричный/ортогональный оператор и матрица, критерий симметричности/ортогональности оператора левого умножения
А – nxn симметричны det At=A; ортогональны det At=A-1; Замечание (эквивалентные условия ортогональности) Строки и столбцы матрицы А образуют ортонормированную систему, как векторы в пространстве Rn с каноническим скалярным произведением. 1) At=A-1 Rn Э x,y, x=(x1/…/xn), y=(y1/…/yn); (x,y)=x1y1+…+xnyn=xty – каноническое скалярное произведение. Определение: Симметричные и ортогональные операторы. E, (x,y) , 
- л.о. в Е симметричен det( (x),y)=(x, (y)); ортогонален det ( (x), (y))=(x,y) x,y E; 1) E=Rn Э x,y, x=(x1/…/xn), y=(y1/…/yn); (x,y)=x1y1+…+xnyn=xty A – nxn LA – оператор левого умножения. LA(x)=Ax, тогда А – симметрична => LA – симметричный оператор; А – ортогональна => LA – ортогональный оператор. Док-во: 1) A – симметрична, A=At; (LA(x),y)=(Ax,y)=(Ax)ty=xtAt(=A)y=xt(Ay)=xtLAy=(x,LA(y)) => симметричный оператор; 2) А – ортогональная матрица At=A-1 (LA(x), LA(y))=(Ax,Ay)=(Ax)tAy=xt(AtA=E)y=xty=(x,y) =>LA ортогональный оператор.
Билет №29 Спектральная теорема, диагонализируемость симметричной матрицы
Теорема: Для всякого симметричного оператора в каноническом пространстве существует ортонормированный собственный базис, состоящий из собственных векторов e1,…, en отвечающих вещественным собственным значениям 
1… n; Следствие: для всякой симметричной матрицы существует ортонормированный собственный базис, т.е. А – симметричная матрица (nxn) 
базис в Rn e1,…, en => (e1,en)=eitej={0, i<>j; 1, i=j; и Ae1= ie1, i=1..n, где 1… n – вещественные собственные значения матрицы А. Теорема: всякая симметричная матрица диагонализируема. Док-во: Диагонализируема она тогда, когда у нее есть собственный базис. Применить следствие 1 и сформулированный ранее критерий диагонализируемости.
Билет №30 Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием координат.
Теорема: fA(x)= 
- квадратичная форма от n переменных x1,…,xn в симметричной матрице А= Пусть далее Т – ортогональная матрица в столбцах которой стоят векторы ортонормированного собственного базиса для симметричной матрицы А. Тогда формула x=Ty fA(x) = 1y12+…+ nyn2, где 1… n – собственные значения матрицы А; Док-во: fA(x)= =xtAx; далее, Т=Ткакон базис –> собсвенный базис матрицы А; LA^ - матрица LA в каноническом базисе (LA=A); LA^’ - матрица LA в собственном базисе (LA’=B= = ( 1,0,…,0/0, 2,0,…,0/0,…, 0, n)); LA^’ = T-1LA^T; B=T-1AT; Тогда fA(x)=xtAx = (Ty)tA(Ty)=(ytTt)A(Ty)= T орт yt(T-1AT(=B))y=ytBy= 1y12+…+ nyn2
